2024-2025学年辽宁省五校联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，( )
A. B. C. D.
2.随机变量，则的值为( )
A. B. C. D.
3.运用复合函数求导方法求函数的导函数为( )
A. B. C. D.
4.设离散型随机变量可能取的值为，，，且，又的数学期望，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知数列为等比数列，则“数列为单调递增数列”的_____条件是“对任意有恒成立”( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分且必要 D. 非充分非必要
6.曲线和曲线的公共切线的斜率为( )
A. B. C. D.
7.高二学习小组自主探究三次函数的性质得出以下命题：
无论系数如何变化，函数的图象始终都是中心对称图形；
过平面内的任意一个定点至多能作出三条直线与函数图象相切；
任意三次函数都存在零点，至少有一个，至多有三个；
当函数存在极值点，时，中心点处的导数与两极值点处的函数值有固定关系；．
其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
8.已知数列，若数列与数列都是公差不为零的等差数列，则数列的公差为( )
A. B. C. D. 不确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，均为正实数，且，则下列命题正确的有( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
10.已知无穷数列满足，设其前项和为，记，则( )
A. 存在等差数列，使得是递增数列
B. 存在等比数列，使得是递增数列
C. 若是递减数列，则且
D. 若是递减数列，则可能存在且，使得
11.已知函数的极值点均为，，则( )
A. 若，则 B.
C. 可能为 D. 可能为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.庄子天下篇中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其中隐含了关系式：类似的，我们可以将一个无限循环小数表示为分数： ______．
13.已知符号函数，，若，则实数的取值范围是______．
14.已知函数，则若对任意，有，则的值为______若图象上存在两点、，使得为坐标原点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
最近育才园举行了乒乓球、羽毛球、足球等联赛、激发起了同学们的运动热情调查小组为了解本校学生身体素质情况，决定在全校名男生和名女生中，按分层抽样的方法随机抽取名学生，对他们课余参加体育锻炼时长进行问卷调查，将学生参加体育锻炼时长的情况分三类：类课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过小时，类课余时间参加体育锻炼但平均每周锻炼时长不超小时，类课余时间不参加体育锻炼，调查结果如下表：
类别 类 类 类
男生
女生
求出表中，的值；
根据表格统计的数据，完成下表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过小时与性别有关．
性别 男生 女生
类
类和类
附：，其中．
16.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
求函数的极值；
数，设是的极值点，且，求证：注：表示，，中最小的．
17.本小题分
甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛中甲胜乙的概率为．
采取五局三胜制在不超过局比赛中先累计胜局者赢得比赛，比赛结束
(ⅰ)求一场比赛中，甲以：的比分赢得比赛的概率；
(ⅱ)求一场比赛中不一定打满局，甲最终赢得比赛的概率；
判断“五局三胜制”和“三局两胜制”哪一种赛制对乙赢得比赛更有利？说明理由．
18.本小题分
设数列的前项和为，且满足：．
求；
设数列满足：．
(ⅰ)求的通项公式及其前项和；
(ⅱ)若对任意，，有，求实数的最大值．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的零点情况，只要求写出结论即可；
若对任意，有，求的取值范围；
求证：对在意且，有．
参考答案
1.
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15.由题意可知，，
解得；
根据题意，完成列联表如下，
性别 男生 女生
类
类和类
零假设：课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过小时与性别无关，
则，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
故能在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超小时与性别有关．
16.由题意，函数的定义域为，且，
令，解得，令，解得，
故单调递减区间为，单调递增区间为，
，则，
令，解得，令，解得，
所以在单调递减，在单调递增，
故当时，取极大值，无极小值，
证明：由可知在单调递减，在单调递增，
在单调递减，在单调递增，
且当，，，，，，，，，，
作出两个函数的图象如图所示：故存在，，使得，
，则图中实线为的图象，
当时，单调递增，时，单调递减，
则是函数的极值点，所以，即．
因为，所以不妨设，即
要证，只需证，
令，
，
记，，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以，故，
故，进而，
，
所以在上单调递增，
于是有，
故得证．
17.甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛中甲胜乙的概率为，采取五局三胜制，
(ⅰ)一场比赛中，甲以：的比分赢得比赛，
则前局甲乙各胜局，最后局甲胜，
一场比赛中，甲以：的比分赢得比赛为；
一场比赛中不一定打满局，甲最终赢得比赛分三种情况：
：，概率为，
：，概率为，
：，由已得概率为，
甲赢得比赛的概率为．
由可知在“五局三胜制”比赛中，乙赢得比赛的概率为；
而在“三局两胜制”比赛中，乙赢得比赛分两种情况：
：，；：，；
所以在“三局两胜制”比赛中，乙赢得比赛的概率，
因为，所以选择“三局两胜制”对乙赢得比赛更有利
18.当时，由，可得，解得，
当时，，即为，
即，
记，则，，
由，
可得，时也适合，
故；
由题，由累乘得，
得，
；
，
记．
，
当时，，当时，，
所以，故，
，数列单调递增，所以，
于是只需，得的最大值为．
19.由题意，函数的定义域为，由，得，
令，则，
当时，，则函数在上单调递增；
当时，，则函数在上单调递减，
所以，
当时，，当时，，
所以当或时，直线与函数的图象有一个公共点；
当时，直线与函数的图象有两个公共点；
当时，直线与函数的图象没有公共点，
所以当或时，函数有个零点；当时，函数有个零点；当时，函数无零点．
对任意，不等式，
令函数，求导得，
当时，，函数在上单调递减，，不合题意；
当时，，，设其两个根，，，
由，得，函数在单调递减，，不合题意；
当时，函数在上单调递增，，，
函数在上单调递增，对任意，，符合题意，
所以的取值范围是．
证明：法：先证：对任意，有，令，，
求导得，函数在上单调递增，，
因此对任意，有，即，
而，
所以．
法：由知，当时，，
因此，
所以
．
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