2024-2025 学年福建省莆田二中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数 = ( )在点 ( + ) ( )0处可导，且 ′( ) = 2，则 → 0 0 00 的值为( )
A. 2 B. 4 C. 0 D. 4
2.已知 2 2 412 = 12 ，则 的值是( )
A. 2 B. 6 C. 12 D. 2 或 6
3.在(1 + )4(1 + )6的展开式中 2 项的系数为( )
A. 36 B. 45 C. 60 D. 72
4.甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式
共有( )
A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
5.已知随机变量 ～ ( , )，若 ( ) = 4， = 2 + 3， ( ) = 3.2，则下列结论正确的是( )
A. ( ) = 16 B. ( ) = 0.5 C. = 0.6 D. ( = 2) = 32625
6.某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其
中选“初心”队获胜的概率为 0.8，选“使命”队荻胜的概率为 0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使
命”队参加比赛的概率为( )
A. 29 B.
2
5 C.
8 7
15 D. 15
3
7.若函数 ( ) = 23 2 + + 1
1
在区间[ 2 , 3]上不单调，则实数 的取值范围是( )
A. (2, 5 ) B. [2, 52 2 ) C. (2,
10
3 ) D. [2,
10
3 )
8.现有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按
各队的积分排名(积分多者名次靠前，积分同者名次并列)积分规则为每队胜一场得 3 分，平一场得 1 分，
1
负一场得 0 分，若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为3，则在比赛结束时，甲队胜 2 场且乙队胜 2 场的
概率为( )
A. 2 B. 4 1 4243 243 C. 27 D. 81
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 ( 1.在二项式 )62 的展开式中，下列说法中正确( )
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A. 15常数项是 4 B.有理项的个数为 1
C. 1各项系数和是64 D.奇数项二项式系数和是 32
10.某社区派出 ， ， ， ， 五名志愿者全部安排到甲、乙、丙、丁四个社区协助开展防护排查工作，每
名志愿者只能到一个社区工作，则下列结论中正确的是( )
A.所有不同的分派方案共45种
B.若甲社区不安排志愿者，其余三个社区至少安排一个志愿者，则所有不同的分派方案共 150 种
C.若每个社区至少派 1 名志愿者，且志愿者 必须到甲社区，则所有不同分派方案共 96 种
D.若每个社区至少派 1 名志愿者，且志愿者 、 不安排到同一社区，则所有不同分派方案共 216 种
11 ′( ).设函数 ( ) = ， ( ) = ，则下列命题正确的是( )
A. 1不等式 ( ) > 0 的解集为( , + ∞)
B.函数 ( )在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减
C.当 1 >
2 2
2 > 0 时，2 ( 1 2) > ( 1) ( 2)恒成立，则 ≥ 1
D.若函数 ( ) = ( ) 2有两个极值点，则实数 ∈ (0,1)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 3 1.某电子管正品率为4，次品率为4现对该批电子管进行测试，设第 次首次测到正品，则 ( = 3) =______．
13.春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花
坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花
卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有______．
14.若关于 的不等式( 2) ≥ 2( > 0)有且只有三个整数解，则实数 的取值
范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知三次函数 ( ) = 3 + 2 + + ( , , ∈ )过点(3,0)，且函数 ( )在点(0, (0))处的切线恰好是直线
= 0．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)设函数 ( ) = 9 + 1，若函数 = ( ) ( )在 上有三个不同零点，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建巩公司，经过层层师选，甲、乙两家
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设计了一个招标方案：两家公司从 6 个招标问题中随机抽取 3 个问题，已知这 6 个招标问题中，甲公司能
2
正确回答其中 4 道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为3，甲、乙两家公司对每题的回答都是相
互独立，互不影响的．
(1)求甲公司答对题数的分布列；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
17.(本小题 15 分)
一只口袋中装有形状、大小都相同的 6 个小球，其中有红球 1 个，白球 2 个，黑球 3 个，分别从中用两种
不同方式摸出 3 个球，方式一：依次有放回；方式二：一次性无放回．
(1)按方式一，求摸出是同一种颜色球的概率；
(2)按方式二，在摸出两种不同颜色的球的条件下，求摸出 2 黑 1 白的概率；
(3)若按方式一、二等可能，抽签决定，求最终摸出 2 黑 1 白的概率．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + ( ∈ )．
(1)当 = 1 时，求 ( )的最小值；
(2)求函数 ( ) = ( ) ( 1) 的极值；
(3)当 = 2 时，不等式 ( 1) < ( )在 ∈ (1, + ∞)上恒成立，求整数 的最大值．
19.(本小题 17 分)
1
某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为2，
1 1
前一局赢后下一局继续赢的概率为3，前一局输后下一局赢的概率为2，如此重复进行．
(1)求乙同学第 2 局赢的概率；
(2)记甲同学第 局赢的概率为 ．
(ⅰ)求 ；
(ⅱ)若存在 ，使 ln( + 1) + ≥ 0 成立，求整数 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 364
13.420
3
14.[1, +23 )
15.(1)因为 ( ) = 3 + 2 + + ，
所以 ′( ) = 3 2 + 2 + ，
(3) = 27 + 9 + 3 + = 0
由题意可知 ′(0) = = 0 ，
(0) = = 0
= 3
解得 = 0 ，
= 0
所以 ( ) = 3 3 2．
(2)令 = ( ) ( ) = 0，则 = 3 3 2 9 + 1，
设 ( ) = 3 3 2 9 + 1，
所以 ′( ) = 3 2 6 9 = 3( 3)( + 1)，
令 ′( ) = 0，得 = 1 或 3，
所以在( ∞, 1)上， ′( ) > 0， ( )单调递增，
在( 1,3)上， ′( ) < 0， ( )单调递减，
在(3, + ∞)上， ′( ) > 0， ( )单调递增，
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所以 ( )的极大值是 ( 1) = 6，极小值是 (3) = 26，
又当 → ∞时， ( ) → ∞； →+∞时， ( ) →+∞，
因为若函数 = ( ) ( )在 上有三个不同零点，
所以实数 的取值范围为( 26,6)．
16.(1)设甲公司答对题数为随机变量 ，
易知 的所有可能取值为 1，2，3，
( = 1) =
1
4
2
2 = 1
2 1 3
所以 3 5， ( = 2) =
4 2 3 4 1
3
=
6 6 5
， ( = 3) = 3 = 5， 6
则 的分布列为：
1 2 3
1 3 1
5 5 5
(2)由(1)知 ( ) = 1 × 1 + 2 × 3 15 5 + 3 × 5 = 2，
( ) = (1 2)2 × 15+ (2 2)
2 × 3 2 1 25 + (3 2) × 5 = 5．
设乙公司能正确回答的题目数为随机变量 ，
易知 的所有可能取值为 0，1，2，3，
所以 ( = 0) = 0 2 0 23 ( 3 ) (1 3 )
3 = 1， ( = 1) = 1 ( 2 )127 3 3 (1
2 2 2
3 ) = 9，
( = 2) = 23 (
2 )2 (1 2 )1 = 4 ( = 3) = 3 ( 2 )3 (1 2 )0 = 83 3 9， 3 3 3 27，
则 的分布列为：
0 1 2 3
1 2 4 8
27 9 9 27
1 2 4 8
所以 ( ) = 0 × 27 + 1 × 9 + 2 × 9 + 3 × 27 = 2，
( ) = (0 2)2 × 127 + (1 2)
2 × 29+ (2 2)
2 × 49 + (3 2)
2 × 8 227 = 3，
因为 ( ) = ( )， ( ) < ( )．
所以甲公司竞标成功的可能性更大．
17.(1) 1 2 1根据题意，因为是有放回抽样，则每次摸到红球的概率是6，每次摸到白球的概率是6 = 3，每次摸到
3 1
黑球的概率是6 = 2，
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1 1 1
所以按照方式一，摸出是同一种颜色球的概率 = ( )3 + ( )3 + ( )36 3 2 =
1+8+27 1
216 = 6；
(2)根据题意，设 =“摸出两种不同颜色的球”， =“摸出 2 黑 1 白”，
一次性无放回摸出三个球的组合数为 36 = 20，
2 1 2 2 1 2 1
则 ( ) = 1+ 3+ 2 3+ 2 3 = 13， ( ) = 3 2 = 3．
3 20 36 6 10
又由 ，则 ( ) = ( )，
( | ) = ( ) = ( ) 6故 ( ) ( ) = 13；
(3) 1根据题意，因为按方式一、二等可能抽签决定，则抽到方式一、二的概率都是2，
1 1 1 1 1
按方式一摸出 2 黑 1 白的概率为 1 = 2 × 3 × 2 × 2 × 3 = 8．
1 2 1 3
按方式二摸出 2 黑 1 白的概率为 2 = 2 ×
3 2
3 = 6 20
．
2 1 = + = 11所以根据全概率公式，最终摸出 黑 白的概率为 1 2 40．
18.(1)当 = 1 时， ( ) = + ，定义域为(0, + ∞)，
则 ′( ) = + 2，
令 ′( ) = 0，得 = 2，
当 ∈ (0, 2)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ ( 2, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
∴当 = 2时，函数 ( )取得最小值，即 ( 2) = 2 + 2 2 = 2 2 2 = 2，
∴当 = 1 时， ( )的最小值为 2，此时 = 2．
(2)由题意得， ( ) = ( ) ( 1) = + ( 1) = + ，其定义域为(0, + ∞)，
( ) = + 1则 ′ ，
①当 ≥ 0 时， ′( ) = + 1 > 0 恒成立，∴函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
∴ ( )不存在极值；
②当 < 0 时，令 ′( ) = + 1 1 = 0，解得 = ，
∴当 ∈ (0, 1 )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ ( 1 , + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
∴当 = 1 1 1 1 1 时， ( )存在极大值 ( ) = ( ) + ln( ) = ln( ) 1，无极小值；
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综上所述，当 ≥ 0 时，函数 ( )不存在极值；
当 < 0 时，函数 ( ) 1 1存在极大值 ln( ) 1，此时 = ，不存在极小值．
(3)由题意知，当 = 2 时，不等式 ( 1) < ( )在 ∈ (1, + ∞)上恒成立，
( 1) < 2 + < 2 + 即 ，等价于 1 在 ∈ (1, + ∞)上恒成立，
设 ( ) = 2 + 1 ，即
( ) = (3+ )( 1) (2 + ) = 3 则 ′ ( 1)2 ( 1)2 ，
令 ( ) = 3 ，则 ′( ) = 1 1 ，
当 ∈ (1, + ∞) 1时， ′( ) = 1 > 0 恒成立，则 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
又 (4) = 1 4 < 0， (5) = 2 5 > 0，
∴ 0 ∈ (4,5)，使 ( 0) = 0，即 ′( 0) = 0，
当 ∈ (1, 0)， ( ) < 0，即 ′( ) < 0，
当 ∈ ( 0, + ∞)， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，
即 ( )在(1, 0)上单调递减，在( 0, + ∞)上单调递增，
当 = 0， ( )存在最小值，即 ( 0)，
由 ( 0) = 0 0 3 = 0，得 0 = 0 3，
( ) = 2 0+ 0 0 = 2 0+ 0(
2
0 3) 0 0
0 0 1
= = 0，
0 1 0 1
∴ < ( 0) = 0 ∈ (4,5)，
又 ∈ ，∴ 的最大值为 4．
19. 1 1 1解：甲第一局赢的概率为2，前一局赢后下一局继续赢的概率为3，前一局输后下一局赢的概率为2，
(1) 2 1 1 1 1 5甲第 局赢的概率为 2 = 2 × 3 + (1 2 ) × 2 = 12，
7
所以乙赢的概率为 = 12；
(2)(ⅰ)由已知 ≥ 2 时， =
1
3
1 1 1
1 + 2 (1 1) = 6 1 + 2，
3所以 7 =
1 3 3 1
6 ( 1 7 )，又 1 7 = 14，
所以数列{ 3 7 }
1
是等比数列，公比为 6，
所以
3
7 =
1
14 × (
1 ) 16 ，所以 =
1
14 × (
1
6 )
1 + 37；
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(ⅱ) ln( + 1) + ≥ 0，即 ≥ ln( + 1) ，
令 ( ) = ln( + 1) ，则 ′( ) = 1 +1 是减函数， ′(0) = 0，
所以 > 0 时， ′( ) < 0， ( )递减，
显然 > 0( ∈ )，要求 ln( + 1) 的最大值，即求 的最小值，
= 1 × ( 1 ) 1 + 3又 14 6 7，
为奇数时， > 3 3 7， 为偶数时， < 7，
为偶数时， =
1 × ( 1 1 314 6 ) + 7是单调递增，
1
所以 2是{ }中的最小值， 2 = 14 × (
1 3 5
6 ) + 7 = 12，
≥ ln(1 + 5
5
所以 ) 1212 ，
1 5
又 ( ) = ln( + 1) 在(0, + ∞)上是减函数，所以 ( 2 ) < ( 12 ) < (0)，
而 (0) = 1 1 3， ( 2 ) = + ln 2 > 2，
5
所以 2 < ln(1 + 512 ) 12 < 1，
5
由 ≥ ln(1 + 512 ) 12，
则整数 的最小值为 1．
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