2024-2025学年湖南省长沙市稻田中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题
1.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关如图所示的统计图，记这组数据的众数为，中位数为，平均数为，则( )
A.
B.
C.
D.
2.某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图图、“后”从事快递行业岗位分布条形图图，则下列结论中错误的是( )
A. 快递行业从业人员中，“后”占一半以上
B. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“后”的人数超过总人数的
C. 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“后”的人数比“前”的多
D. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“后”的人数比“后”的多
3.下列各小题中，是的充要条件的是( )
：或；：有两个不同的零点．
；：是偶函数．
：；：．
：；：A.
A. B. C. D.
4.将一副三角板拼接成平面四边形如图，，将其沿折起，使得面面，若三棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知函数的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，若将函数的图象向左平移后得到奇函数的图象，则( )
A. B. C. D.
6.已知，求( )
A. B. C. D.
7.已知，若方程恰有两个解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，都是定义在上的函数，对任意，满足，且，则下列说法正确的是( )
A. B. 若，则
C. 函数的图像关于直线对称 D.
二、多选题
9.对数的发明是数学史上的重大事件我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值如下表，下列结论正确的是( )
真数
近似值
真数
近似值
A. 在区间内
B. 是位数
C. 若，则
D. 若是一个位正整数，则
10.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件：两次的点数之和为偶数，：两次的点数之积为奇数，：第一次的点数小于，则( )
A. B. C. 与相互独立 D. 与互斥
11.已知函数为常数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，在处的切线方程为
B. 若有个零点，则的取值范围为
C. 当时，是的极大值点
D. 当时，有唯一零点，且
三、填空题
12.双曲线的焦点到渐近线的距离等于______．
13.如图圆锥内的球与圆锥的侧面与底面都相切，且球的半径为，则圆锥侧面积的最小值为______．
四、解答题
14.设锐角内部的一点满足，且．
证明：；
求角；
若，，，求的最大值．
15.如图，在四棱锥中，平面，，，且，．
证明：；
已知在线段上，且平面，求三棱锥的体积．
16.如图，双曲线的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为．
求双曲线的方程；
若为垂直于轴的动弦，点，直线与交于点．
求证：点恒在双曲线上；
若和在双曲线的同一支上，请直接写出面积的最小值，无需书写过程．
17.已知，，，
若，，求的最大值；
若，求关于的不等式的解集；
，对于给定实数，均有满足，求的取值范围．
18.某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组两个评委组，每组人每首参赛歌曲都需要位评委打分满分为分，且各评委打分相互独立从专业评委组的个分数中去掉一个最高分，去掉一个最低分，可求出剩余个有效得分的平均分，按照同样的方法可得到业余评委组打分的平均分参赛选手该歌曲的最终得分为在该比赛中，对某选手在初赛中参赛歌曲的得分进行整理，得到如下茎叶图．
计算、两小组各自有效得分的均值、及标准差、；
专业评委组由于其专业性，有效打分通常比较集中；业余评委组由于水平不一，有效打分通常比较分散利用的计算结果推断、两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组？请说明理由；
在的推断下，计算此选手初赛歌曲的最终得分；
若的推断正确，且该选手成功进入复赛，复赛中位评委所打分数大致服从正态分布，试估计位评委中，打分在分以上的人数．
参考数据：组名评委打分总和为，组名评委打分总和为；；；
若，则，，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.．
14.证明：如图所示，锐角内部的一点满足，
则为的外接圆的圆心，
因为，
又，
所以；
解：设的外接圆的半径为，则，
因为，
所以，
所以，
即，
所以，
整理得，
又，则，即，
因为，所以，
则或，即或；
解：因为，由可得，，
由正弦定理可得，，
易知，
所以，
则，当且仅当、、三点共线时取得最大值，
所以．
15.证明：如图，作于，
因为，，又，
所以，，
又，所以，
所以，
又平面，所以，又，
所以平面，所以；
连接交于点，
因为平面，平面平面，
所以，所以，
又，所以，所以，
设到底面的距离为，
则，即，
所以三棱锥的体积为．
16.因为双曲线的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，
所以，，
又，
解得，，
则双曲线的方程为；
证明：易知，．
设，，
可得，
当时，，，
直线方程为，直线的方程为，
因为直线与相交，
所以，
即，
联立，
解得，
即，
所以
，
此时点恒在双曲线上，
当时，点与点重合，也在双曲线上，
综上所述：点恒在双曲线上；
由知，，
当时，，
此时和不在双曲线的同一支上，
当时，，
此时和不在双曲线的同一支上，
当时，，
此时和同在双曲线的右支上，
此时，
则和在轴的两侧，
所以
，
令，
因为，
所以，
所以
，
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以．
则面积的最小值为．
17.解：因为，可知的定义域为，此时，
若，，则，，
可得，
令，则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为．
若，则，
对于，即，
令，则，
若，则，可得，
解得，可得；
若，则，可得，
解得，可得且；
若，则，可得，
解得或，可得或；
综上所述：若，解集为；
若，解集为且；
若，解集为．
因为，
由题意可知：的最小值，
令，则，
取，则，即，解得；
若，则，可得，
因为在内单调递增，在内单调递减，
可知的最小值为或，且，符合题意；
若，则，可得，可知的最小值为，符合题意；
若，则，可得，
因为在内单调递增，在内单调递减，
可知的最小值为或，且，符合题意；
综上所述：的取值范围为．
18.由题意可知，，
，
；
因为，因此组更有可能是专业评委组；
；
由可知，正态分布的参数，．
设某评委打出的分数为随机变量，则，
故
．
，于是估计位评委中，打分在分以上的人数大约为人．
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