2024-2025学年云南省中央民族大学附中红河实验学校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( )
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
B. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
C. 棱台的各侧棱延长后必交于一点
D. 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台
4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则值为( )
A. B.
C. D.
7.若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，且不等式对于一切恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，若为奇函数，且为偶函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为假命题的是( )
A. 若，则
B. 若且，则
C. 不等式对一切实数恒成立，则
D. “”是“”的一个必要不充分条件
10.如图，正四棱台中，下列说法正确的是( )
A. 和异面
B. 和共面
C. 平面平面
D. 平面与平面相交
11.下列命题正确的( )
A. 已知向量，若，则等于
B. 中，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为，，．
C. 在中，为常数，若，且，则的面积取最大值时，
D. 在中，，，设是的内心，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ______．
13.如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为______米
14.已知，若方程有四个根，，，，且，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．
求；
若的面积为，且，求．
16.本小题分
如图，在正三棱柱中，已知，，是棱的中点．
求证：平面；
该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积．
17.本小题分
已知平面向量，，函数．
求的单调区间；
在锐角中，，，分别是内角，，所对的边，若，，求周长的取值范围．
18.本小题分
一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心．
证明：平面；
设平面平面，试判断直线与的位置关系，并给出证明；
在棱台的底面上包括边界是否存在点，使得直线平面？若存在，说明点的轨迹，并进行证明；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知函数的图象过点，．
Ⅰ求函数的解析式；
Ⅱ若函数在区间上有零点，求整数的值；
Ⅲ设，若对于任意，都有，求的取值范围．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意，，，
由，得，即，
根据正弦定理，得，
由可得：，即，
又，则；
由三角形面积为，可得：，
又，则，
由余弦定理：可得，
代入，
可得，代入，
可得，解得．
16.解：证明：根据题目：在正三棱柱中，
已知，，是棱的中点．
连接，交于点，则为中点，连接，如图所示，
在中，因为，分别为，的中点，所以，
又因为面，且面，所以平面；
解：在正三棱柱中，因为，且，
可得正三棱柱的体积为，
又由三棱锥的体积为，
所以剩余部分的体积为．
17.解：由题意，函数
，
令，，
得：
的单调递增区间为；，．
令，，
得：
的单调递减区间为；，．
由可得，
那么
可得：
根据正弦定理，可得，，
那么周长
是锐角三角形，
则；
那么
则．
那么周长；
因此周长范围是．
18.证明，如图所示：
设，的中点分别为、，
易得，又，
所以，，
又点为的重心，
所以，
所以与平行且相等，
从而可得，又平面，平面，
所以平面；
证明：直线与平行，证明如下：
因为，平面，平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以；
分别取、的中点、，则当点时，有平面，
证明如下：
因为、分别为、的中点，所以，
过点作的平行线交、于、两点，
因为，，所以，所以、、、四点共面，
又，点为重心，
所以，
又由正三棱台性质，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面、平面，
所以平面，同理平面，
又，、平面，
所以平面平面，当点时，平面，
所以平面．
19.解：Ⅰ函数的图象过点，
，解得，
函数的解析式为；
Ⅱ由Ⅰ可知，，
令，得，
设，
则函数在区间上有零点，
等价于函数在上有零点，
令，恒成立，
在实数集上必有两个零点．
由对恒成立，得：，
而，得，，
的对称轴，
函数在上有一个零点，
故，
解得：．
综上，，
又，
的取值为；
Ⅲ且，
且，
，
的最大值可能是或，
，
，
只需，即，
设，在上单调递增，
又，
，即，
，
的取值范围是．
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