第2课时 含角的直角三角形的性质
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 含角的直角三角形的性质
1．如图，在中， ， ，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．8 D．12
2．[2024长沙模拟］如图，在中， ，是高， ，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．[2024怀化模拟］如图，在中，已知， ，，.求：
（1） 的度数；
（2） 的长.
知识点2 含角的直角三角形的性质的应用
4．如图，小明同学背着一桶水，从山脚处出发，沿与地面成 角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（处），，则小明同学从点到点上升的高度 m.
5．[2023许昌模拟］如图①是某超市入口的双翼闸门.当它的双翼展开时，如图②，双翼边缘的端点与之间的距离为,双翼的边缘,且与闸机侧立面夹角 .当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为.
6．如图是某屋顶框架的示意图，其中，， ，，求，，的度数和的长度.
B组·能力提升 强化突破
7．[2024东莞模拟］如图， ，是射线上一点，点与点关于对称，于点.若，则的长为_ _ .
8．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点.
（1） 求的度数;
（2） 若，求的长.
9．如图，在中，， ，的垂直平分线交于点，交的延长线于点.求证：.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．【推理能力】如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点.
（1） 求证：.
（2） 请问与有何数量关系？并说明理由.
第2课时 含角的直角三角形的性质
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 含角的直角三角形的性质
1．A 2．C
3．（1） 解：， ，
，
.
， ,
.
（2） , ， ，
.
，
,
.
知识点2 含角的直角三角形的性质的应用
4．40
5．74
6．解:， ,
.
，
， .
又 ,,
在中，.
B组·能力提升 强化突破
7．3
8．（1） 解：是等边三角形，
.
，
.
，
，
.
（2） ， ，
，
是等边三角形，
.
又 ， ，
.
9．证明：如答图，过点作于点.
第9题答图
， ，
.
垂直平分，
， ，
，
.
又， ，
，.
，且，，
，即.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．（1） 证明：是等边三角形，
， .
在和中，
.
（2） 解：.理由如下：
，
.
为的外角，
.
， ，
.15.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 等边三角形的性质
1．如图，是等边三角形，点在边上， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在等边三角形中，是边的中点，则_ _ _ _ _ _° ，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _° ，_ _ _ _ _ _° ，_ _ _ _ _ _° .
3．如图，是等边三角形的中线，，求的度数.
知识点2 等边三角形的判定
4．［2024邯郸模拟］如图，在中，，于点， ，求证：为等边三角形.
下面是证明过程，请补充完整.
证明：，
是_ _ _ _ _ _ _ _ .
于点，
_ _ _ _ _ _ .
又，
为等边三角形.（_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ）
5．如图，在中，是角平分线，延长至点，使，若， .求证：是等边三角形.
易错点 对等边三角形的判定理解不透彻导致的错误
6．给出下列命题：
①有一个外角是 的等腰三角形是等边三角形;②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;④三个外角都相等的三角形是等边三角形.
其中正确的命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
B组·能力提升 强化突破
7．[2023江西]将含 角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知 ，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为_ _ .
8．[2024长沙模拟]如图，在等边三角形的三边上，分别取点，，，使.求证：是等边三角形.
9．已知是等边三角形.
（1） 如图①，，分别交，于点，，求证：是等边三角形;
（2） 如图②，是等边三角形，点在的延长线上，连接，求证：.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．【推理能力】如图，已知和均为等边三角形，且点，，在同一条直线上，连接交于点，连接交于点，连接.
（1） 试说出的理由.
（2） 试说出的理由.
（3） 试猜想是什么特殊的三角形？并加以证明.
15.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 等边三角形的性质
1．D
2．； ； ；
3．解：是等边三角形的中线，
，平分，
.
，
，
.
知识点2 等边三角形的判定
4．等腰三角形； ； 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形
5．证明：，
.
，
，
.
是的平分线，
，
，
，
是等边三角形.
易错点 对等边三角形的判定理解不透彻导致的错误
6．C
B组·能力提升 强化突破
7．2
8．证明：是等边三角形，
, .
，
,即.
在和中，
，
.
同理可得，
，
是等边三角形.
9．（1） 证明：是等边三角形，
.
，
，
是等边三角形.
（2） 和都是等边三角形，
，， ，
，即，
，
.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．（1） 解：和均为等边三角形，
，， ，
，
，
.
（2） ，
.
，
.
又，
.
（3） 是等边三角形.
证明：，
.
又 ，
是等边三角形.
