认识一次函数(第1课时)
A层基础夯实
知识点1 一次函数的概念
1.(2025·西安质检)下列函数中,表示y是x的正比例函数的是( )
A.y=-0.2x
B.y=3x2
C.y2=4x
D.y=5x+1
2.下列函数(1)y=-x;(2)y=5x+2;(3)y=;(4)y=x2-4中,是一次函数的有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
3.若函数y=+5是关于x的一次函数,则m= .
4.若函数y=2x+m2-1是关于x的正比例函数,则m= .
5.已知关于x的函数y=(m+1)x2-|m|+n+4.
(1)当m,n为何值时,此函数是一次函数
(2)当m,n为何值时,此函数是正比例函数
知识点2 列一次函数关系式
6.一段导线,在0 ℃时的电阻为2欧,温度每增加1 ℃,电阻增加0.008欧,那么电阻R(欧)表示为温度t(℃)的函数关系为( )
A.R=-1.992t+2
B.R=0.008t+2
C.R=2.008t+2
D.R=2t+2
7.拖拉机开始工作时,油箱中有油24升,如果每小时耗油4升,那么油箱中的剩余油量y(升)和工作时间x(时)之间的函数关系式是 ,自变量x必须满足 .
8.某市出租车白天的收费起步价为6元,即路程不超过3千米时收费6元,超过部分每千米收费1.1元,如果乘客白天乘坐出租车的路程为x(x>3)千米,乘车费为y元,那么y与x之间的关系式为 .
9.某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4 000元,每月的乘车人数x(人)与这趟公交车每月的利润(利润=收入费用-支出费用)y(元)的变化关系如表所示(每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的)
x(人) 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 …
y(元) -3 000 -2 000 -1 000 0 1 000 2 000 …
请回答下列问题:
(1)自变量为 ;
(2)y与x之间的关系式是 ;
(3)当每月乘车人数为4 000时,每月利润为多少元
B层能力进阶
10.(模型观念)(2025·上海质检)下列函数中,是一次函数的是( )
A.y=3x4
B.y=3x
C.y=
D.y=kx-3(k为常数)
11.若函数y=(k-2)x+k2-4是正比例函数,则k符合的条件是( )
A.k≠-2
B.k=±2
C.k=-2
D.k=2
12.若y=(m-1)是正比例函数,则m的值为 .
13.某家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的宾馆的房间,房间有大、小两种规格,每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间.设派x人去清扫大房间,其余人清扫小房间,清扫一个大房间工钱为80元,清扫一个小房间工钱为60元.
(1)写出家政服务公司每天的收入y(元)与x(人)之间的函数关系式.
(2)应该怎样安排这16名清洁工清扫,才能一天为该家政服务公司创收5 000元
14.商店要出售一种商品,出售时要在进价的基础上加上一定的利润,其销售量x(千克)与售价y(元)之间的关系如表所示.
销售量x/千克 售价y/元
1 1+0.3+0.05
2 2+0.6+0.05
3 3+0.9+0.05
4 4+1.2+0.05
… …
(1)写出用含x的式子表示售价y的计算公式.
(2)当此商品的销售量为10千克时,售价为多少
(3)当售价为26.05元时,商品的销售量为多少千克
C层创新挑战(选做)
15.(模型观念、推理能力、运算能力)若函数y=(2k-5)x+(k-25)为正比例函数,求+++…+的值.认识一次函数(第2课时)
1.已知某租车公司有A,B两种租车方案:A方案为先支付500元,再按每千米0.5元收费;B方案直接按每千米1元收费,已知小明租车花费了800元,若他使用的是最优租车方案,则他的行驶里程是( )
A.600千米
B.700千米
C.800千米
D.900千米
2.佳佳和爸爸一起从家出发,匀速行走25 min后抵达离家1 000 m的报亭,佳佳随即按原速返回,爸爸看了10 min报纸后返回,恰好与佳佳同时到家.则表示爸爸离家后距离y与时间t关系的大致图象是( )
3.(2025·太原期末)清徐葡萄驰名华夏,是山西的著名传统水果之一.在葡萄成熟之际,葡萄园推出采摘活动,不仅让人们吃到放心的葡萄,更能让孩子了解葡萄的相关知识,采摘园推出的方案是:采摘的数量超过2 kg后,超过的部分给予优惠,葡萄的购买数量x(kg)与所付金额y(元)存在如图所示的函数关系,王师傅用100元购买葡萄,他所购买的数量是( )
A.17 kg
B.19 kg
C.21 kg
D.23 kg
4.某市为了鼓励居民节约用电,采用分段计费的方法按月计算用户的电费,每月用电量不超过210千瓦时时,按0.55元/千瓦时计费;每月用电量超过210千瓦时时,其中的210千瓦时仍按0.55元/千瓦时计费,超过的部分按0.6元/千瓦时计费,设用户每月用电量为x千瓦时,应缴电费y元.
(1)求当x>210时,y与x的函数关系式;
(2)小林家12月份缴电费145.5元,小林家这个月用电多少千瓦时
5.我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式,其价格如表:
购买苹果 数x(千克) 不超过50千 克的部分 超过50千 克的部分
每千克价格(元) 10 8
(1)小刚购买苹果40千克,应付多少元
(2)若小刚购买苹果x千克,用去了y元.分别写出当0≤x≤50和x>50时,y与x的关系式;
(3)计算出小刚一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克(每次都购买40千克)所付的费用少多少元
6.(创新挑战题·推理能力、模型观念)某市为了鼓励居民节约用水,采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费:
月用水量不超过20 m3时,按2.5元/m3计费;月用水量超过20 m3时,其中20 m3仍按2.5元/m3收费,超过部分按3.2元/m3计费,设每户家庭月用水量为x m3时,应缴水费y元.
(1)分别写出0≤x≤20和x>20时,y与x的函数表达式.
(2)小明家第二季度缴纳水费的情况如下:
月份 四月份 五月份 六月份
缴费金额 40元 45元 56.4元
小明家第二季度共用水多少立方米 认识一次函数(第1课时)
A层基础夯实
知识点1 一次函数的概念
1.(2025·西安质检)下列函数中,表示y是x的正比例函数的是(A)
A.y=-0.2x
B.y=3x2
C.y2=4x
D.y=5x+1
2.下列函数(1)y=-x;(2)y=5x+2;(3)y=;(4)y=x2-4中,是一次函数的有(B)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
3.若函数y=+5是关于x的一次函数,则m= 3 .
4.若函数y=2x+m2-1是关于x的正比例函数,则m= ±1 .
5.已知关于x的函数y=(m+1)x2-|m|+n+4.
(1)当m,n为何值时,此函数是一次函数
(2)当m,n为何值时,此函数是正比例函数
【解析】(1)根据一次函数的定义,
得2-|m|=1,解得m=±1.
又因为m+1≠0即m≠-1,所以当m=1,n为任意实数时,这个函数是一次函数;
(2)根据正比例函数的定义,结合(1)中结论得:m=1,n+4=0,解得n=-4,所以当m=1,n=-4时,这个函数是正比例函数.
知识点2 列一次函数关系式
6.一段导线,在0 ℃时的电阻为2欧,温度每增加1 ℃,电阻增加0.008欧,那么电阻R(欧)表示为温度t(℃)的函数关系为(B)
A.R=-1.992t+2
B.R=0.008t+2
C.R=2.008t+2
D.R=2t+2
7.拖拉机开始工作时,油箱中有油24升,如果每小时耗油4升,那么油箱中的剩余油量y(升)和工作时间x(时)之间的函数关系式是 y=24-4x ,自变量x必须满足 0≤x≤6 .
8.某市出租车白天的收费起步价为6元,即路程不超过3千米时收费6元,超过部分每千米收费1.1元,如果乘客白天乘坐出租车的路程为x(x>3)千米,乘车费为y元,那么y与x之间的关系式为 y=1.1x+2.7 .
9.某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4 000元,每月的乘车人数x(人)与这趟公交车每月的利润(利润=收入费用-支出费用)y(元)的变化关系如表所示(每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的)
x(人) 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 …
y(元) -3 000 -2 000 -1 000 0 1 000 2 000 …
请回答下列问题:
(1)自变量为 ;
(2)y与x之间的关系式是 ;
(3)当每月乘车人数为4 000时,每月利润为多少元
【解析】(1)由题意可知,自变量是每月的乘车人数.
答案:每月的乘车人数
(2)从题中表格数据变化可知,每月乘车人数每增加500人,其每月的利润就增加
1 000元,
所以每位乘客坐一次车需要1 000÷500=2(元),即函数关系式为y=2x-4 000.
答案:y=2x-4 000
(3)当x=4 000时,y=2×4 000-4 000=4 000(元).
答:当每月乘车人数为4 000时,每月利润为4 000元.
B层能力进阶
10.(模型观念)(2025·上海质检)下列函数中,是一次函数的是(B)
A.y=3x4
B.y=3x
C.y=
D.y=kx-3(k为常数)
11.若函数y=(k-2)x+k2-4是正比例函数,则k符合的条件是(C)
A.k≠-2
B.k=±2
C.k=-2
D.k=2
12.若y=(m-1)是正比例函数,则m的值为 -1 .
13.某家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的宾馆的房间,房间有大、小两种规格,每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间.设派x人去清扫大房间,其余人清扫小房间,清扫一个大房间工钱为80元,清扫一个小房间工钱为60元.
(1)写出家政服务公司每天的收入y(元)与x(人)之间的函数关系式.
(2)应该怎样安排这16名清洁工清扫,才能一天为该家政服务公司创收5 000元
【解析】(1)有x人清扫大房间,则有(16-x)人清扫小房间,
所以y=80×4x+60×5(16-x)=20x+4 800(0≤x≤16).
(2)由题意得,20x+4 800=5 000,解得x=10,16-x=6,
答:应该安排10名清洁工清扫大房间,6名清洁工清扫小房间.
14.商店要出售一种商品,出售时要在进价的基础上加上一定的利润,其销售量x(千克)与售价y(元)之间的关系如表所示.
销售量x/千克 售价y/元
1 1+0.3+0.05
2 2+0.6+0.05
3 3+0.9+0.05
4 4+1.2+0.05
… …
(1)写出用含x的式子表示售价y的计算公式.
(2)当此商品的销售量为10千克时,售价为多少
(3)当售价为26.05元时,商品的销售量为多少千克
【解析】(1)y=x+0.3x+0.05=1.3x+0.05.
(2)把x=10代入y=1.3x+0.05可得,y=1.3×10+0.05=13.05,
答:售价为13.05元.
(3)把y=26.05代入y=1.3x+0.05可得,26.05=1.3x+0.05,解得x=20,
答:商品的销售量为20千克.
C层创新挑战(选做)
15.(模型观念、推理能力、运算能力)若函数y=(2k-5)x+(k-25)为正比例函数,求+++…+的值.
【解析】因为函数y=(2k-5)x+(k-25)为正比例函数,
所以解得k=25.
因为==1-,==-,==-,…,==-,
所以+++…+
=1-+-+-+…+-
=1-
=1-
=.认识一次函数(第2课时)
1.已知某租车公司有A,B两种租车方案:A方案为先支付500元,再按每千米0.5元收费;B方案直接按每千米1元收费,已知小明租车花费了800元,若他使用的是最优租车方案,则他的行驶里程是(C)
A.600千米
B.700千米
C.800千米
D.900千米
2.佳佳和爸爸一起从家出发,匀速行走25 min后抵达离家1 000 m的报亭,佳佳随即按原速返回,爸爸看了10 min报纸后返回,恰好与佳佳同时到家.则表示爸爸离家后距离y与时间t关系的大致图象是(B)
3.(2025·太原期末)清徐葡萄驰名华夏,是山西的著名传统水果之一.在葡萄成熟之际,葡萄园推出采摘活动,不仅让人们吃到放心的葡萄,更能让孩子了解葡萄的相关知识,采摘园推出的方案是:采摘的数量超过2 kg后,超过的部分给予优惠,葡萄的购买数量x(kg)与所付金额y(元)存在如图所示的函数关系,王师傅用100元购买葡萄,他所购买的数量是(B)
A.17 kg
B.19 kg
C.21 kg
D.23 kg
4.某市为了鼓励居民节约用电,采用分段计费的方法按月计算用户的电费,每月用电量不超过210千瓦时时,按0.55元/千瓦时计费;每月用电量超过210千瓦时时,其中的210千瓦时仍按0.55元/千瓦时计费,超过的部分按0.6元/千瓦时计费,设用户每月用电量为x千瓦时,应缴电费y元.
(1)求当x>210时,y与x的函数关系式;
(2)小林家12月份缴电费145.5元,小林家这个月用电多少千瓦时
【解析】(1)由题意可得,当x>210时,y与x的函数关系式是y=0.55×210+ (x-210)×0.6=0.6x-10.5,即当x>210时,y与x的函数关系式是y=0.6x-10.5;
(2)因为当x=210时,应缴电费210×0.55=115.5(元),115.5<145.5,
所以小林家12月份用电量超过210千瓦时,令145.5=0.6x-10.5,解得x=260,
答:小林家这个月用电260千瓦时.
5.我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式,其价格如表:
购买苹果 数x(千克) 不超过50千 克的部分 超过50千 克的部分
每千克价格(元) 10 8
(1)小刚购买苹果40千克,应付多少元
(2)若小刚购买苹果x千克,用去了y元.分别写出当0≤x≤50和x>50时,y与x的关系式;
(3)计算出小刚一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克(每次都购买40千克)所付的费用少多少元
【解析】(1)由表格可得,40×10=400(元),
答:小刚购买苹果40千克,应付400元;
(2)由题意可得,当0≤x≤50时,y与x的关系式是y=10x,
当x>50时,y与x的关系式是y=10×50+8(x-50)=8x+100,
即当x>50时,y与x的关系式是y=8x+100;
(3)小刚一次性购买80千克所付的费用为:8×80+100=740(元),
分两次共购买80千克(每次都购买40千克)所付的费用为:40×10×2=800(元), 800-740=60(元),
答:小刚一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克(每次都购买40千克)所付的费用少60元.
6.(创新挑战题·推理能力、模型观念)某市为了鼓励居民节约用水,采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费:
月用水量不超过20 m3时,按2.5元/m3计费;月用水量超过20 m3时,其中20 m3仍按2.5元/m3收费,超过部分按3.2元/m3计费,设每户家庭月用水量为x m3时,应缴水费y元.
(1)分别写出0≤x≤20和x>20时,y与x的函数表达式.
(2)小明家第二季度缴纳水费的情况如下:
月份 四月份 五月份 六月份
缴费金额 40元 45元 56.4元
小明家第二季度共用水多少立方米
【解析】(1)当0≤x≤20时,y与x的函数表达式是y=2.5x,当x>20时,y与x的函数表达式是y=2.5×20+3.2(x-20)=3.2x-14;
(2)小明家用水量x=20时,水费y=2.5×20=50(元),因为小明家四、五月份的水费都不超过50元,故0≤x<20,此时y=2.5x,
六月份的水费超过50元,x>20,此时y=3.2x-14,
所以把y=40代入y=2.5x中得,2.5x=40,解得:x=16,
把y=45代入y=2.5x中得,2.5x=45,解得:x=18,
把y=56.4代入y=3.2x-14中得,3.2x-14=56.4,解得:x=22,
所以16+18+22=56(m3),
答:小明家第二季度共用水56 m3.
