2024年广东省东莞市清溪中学中考一模数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024九下·东莞模拟）第19届亚运会于10月8日在杭州闭幕．我国体育健儿在本届亚运会上奋力拼搏，以201枚金牌遥遥领先，圆满谢幕．下列体育运动图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D均不能找到一条直线，使图形沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A、B、D不是轴对称图形，不符合题意；
C能找到一条直线，使图形沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故C是轴对称图形，符合题意；
故答案为：C．
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
2．（2024九下·东莞模拟）已知一滴水的质量约是千克，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．千克 B．千克
C．千克 D．千克
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数.
3．（2024九下·东莞模拟）如图，已知，直角三角形的直角顶点在直线a上，若，则，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解： ∵，
∴
∵直角三角板的直角顶点在直线上，
∴
∴
故选：
【分析】根据平行线的性质可知的度数，再根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，即可求出答案.
4．（2024九下·东莞模拟）将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移2个单位所得直线解析式为：；
再向下平移5个单位为：，
故答案为：C．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
5．（2024九下·东莞模拟）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．作角A的平分线 D．内错角相等
【答案】C
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】两点确定一条直线，垂线段最短，同位角相等都是命题，而作角A的平分线为描述性语言，它不是命题．
故答案为：C．
【分析】根据命题的定义对各选项分别进行判断．
6．（2024九下·东莞模拟）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】原式
故答案为：C
【分析】
先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可．
7．（2024九下·东莞模拟）如图，点 、 、 是 上的三点，若 ，则 的度数是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵ ，OB=OC
∴
∵
故答案为：C.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半求解即可．
8．（2024九下·东莞模拟）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：可设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意得，，
故答案为：A．
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余尺，可得，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺可得，据此列出方程组即可．
9．（2024九下·东莞模拟）如图①，在中，，，动点D从点A出发，沿A→C→B以的速度匀速运动到点B，过点D作于点E，图②是点D运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据题意，面积最大是，此时D、C两点重合，如图所示，
在中，，
∴，，
又，
解得（负值舍去），
∴
故答案为：C．
【分析】根据题意可得，面积最大是，此时点D与点C重合，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得，根据三角形的面积即可求出，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．（2024九下·东莞模拟）已知：如图，正方形中，相交于点分别为边上的动点（点 不与线段的端点重合）且，连接．在点运动的过程中，有下列四个结论：①始终是等腰直角三角形；②面积的最小值是1；③至少存在一个，使得的周长是；④四边形的面积始终是1．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．③④
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵正方形中，，相交于点，
∴，互相垂直平分，且平分正方形的四个角，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴始终是等腰直角三角形．
∴选项①结论正确，符合题意；
∵始终是等腰直角三角形，
∴．
∴最小时，面积有最小值，
即当时，面积有最小值．
∵正方形中，，
又∵已证是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴面积的最小值为．
∴选项②结论错误，不符合题意；
∵，
又∵，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∴．
∵已证始终是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵已求最小值为1，
又∵当时，有最大值为，
∴，
∴，
∴，
故至少存在一个，使得的周长是，
选项③结论正确，符合题意；
∵已证，
∴，
∴，
∵已求，
∴．
选项④结论正确，符合题意；
综上，①③④结论正确，
故答案为：C．
【分析】通过正方形的性质，证明，从而得出始终是等腰直角三角形，，计算，即可得到．再由最小时，面积有最小值，先求得的最小值，从而得到面积的最小值．同理，运用，将的周长转化为，通过求范围，得到周长的范围．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024九下·东莞模拟）若，，则 ．
【答案】80
【知识点】因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：80．
【分析】化简代数式，再整体代入即可求出答案.
12．（2024九下·东莞模拟）计算： ．
【答案】7
【知识点】零指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：7
【分析】根据有理数的绝对值和零指数幂进行运算，进而即可求解。
13．（2024九下·东莞模拟）已知圆锥的母线长为6，底面圆的半径4，则它的侧面积为 ．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：依题意知母线长，底面半径，
则由圆锥的侧面积公式得，
故答案为：
【分析】根据圆锥侧面积公式即可求出答案.
14．（2024九下·东莞模拟）设，是一元二次方程的两根，则 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：1．
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，，则，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
15．（2024九下·东莞模拟）如图，矩形的顶点B和正方形的顶点E都在反比例函数的图象上，点B的坐标为，则点E的坐标为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：点B的坐标为在反比例函数的图象上，
反比例函数的解析式为
四边形是正方形
又点在反比例函数图象上
不妨设 ，那么
，
故答案为：．
【分析】根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为，再根据正方形性质可得AD=ED，设 ，那么，再根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案。
16．（2024九下·东莞模拟）如图，已知，，，，，若点P是上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；胡不归模型
【解析】【解答】解：延长至E，使，连接，过P点作于D，如图所示，
垂直平分线段，
，
，
，
，
当与共线时，为最小值，
此时，，
，
，
故的最小值为；
故答案为：．
【分析】延长至E，使，连接，过P点作于D，则BP垂直平分线段，即CP=EF，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，当与共线时，为最小值，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（2024九下·东莞模拟）解方程：
【答案】解：，
，
∴或，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先移项，再根据十字相乘法分解因式，再解方程即可求出答案.
18．（2024九下·东莞模拟）如果，那么代数式的值．
【答案】解：
，
，
，
，
∵，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】根据分式的加法和除法法则化简题目中的式子，然后根据可以得到，然后整体代入化简后的式子即可求出答案.
19．（2024九下·东莞模拟）甲、乙两人玩转转盘游戏，如图所示的转盘被平均分成三个面积相等的扇形区域．额色分别为红、黄、蓝，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次），甲转动转盘两次，乙不看甲转出的结果猜测两次转出的颜色相同．若乙的猜测与甲转出的结果相同，则乙获胜；若乙的猜测与甲转出的结果不同，则甲获胜．
（1）甲转出的结果为“两次转出的颜色中没有红色”是 事件；（填“确定”或“随机”）
（2）请用列表或画树状图的方法求乙获胜的概率．
【答案】（1）随机
（2）解：画树状图如下：
由图可知共有9种等可能的结果，其中两次转出的颜色相同的结果有3种，
乙获胜的概率为．
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）∵一共有3种颜色，每一种颜色被转出的可能性相同，
∴两次转出的颜色种可能有红色，也有可能没有红色，
∴甲转出的结果为“两次转出的颜色中没有红色”是随机事件，
故答案为：随机；
【分析】（1）根据两次转出的颜色种可能有红色，也有可能没有红色即可得到答案；
（2）画出树状图，得到所有等可能性的结果数，再找到转出两种颜色相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
20．（2024九下·东莞模拟）某单位为响应政府号召，准备购买A、B两种型号的分类垃圾桶，购买时发现，A种型号的单价比B种型号的单价少50元，用2000元购买A种垃圾桶的个数与用2200元购买B种垃圾桶的个数相同．
（1）求A、B两种型号垃圾桶的单价各是多少元？
（2）若单位需要购买分类垃圾桶6个，总费用不超过3100元，求出所有不同的购买方式？
【答案】（1）设、两种型号垃圾桶的单价分别为元，元，由题意列方程：
解得：
经检验知：是原方程的解，符合题意
∴
即、两种型号垃圾桶的单价是500元和550元．
（2）设购买A种型号垃圾桶为个，则：
解得：，
又∵单位需要购买分类垃圾桶6个
∵且为整数，
∴
所以购买A种型号垃圾桶为4个，B种型号垃圾桶为个；
A种型号垃圾桶为5个，B种型号垃圾桶为个；
A种型号垃圾桶为6个，B种型号垃圾桶为．
综上所述，共有三种购买方式，即购买A种型号垃圾桶为4个，B种型号垃圾桶为2个；A种型号垃圾桶为5个，B种型号垃圾桶为1个；A种型号垃圾桶为6个，B种型号垃圾桶为0个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设、两种型号垃圾桶的单价分别为元，元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买A种型号垃圾桶个，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
21．（2024九下·东莞模拟）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像在第一象限交于点，与y轴的负半轴交于点B，且．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标．
（2）点P是反比例函数图像上的点，若的面积是15，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵在反比例函数的图像上，
∴，
∴．
过A点作轴于点M．
在中，，．
∴．
又∵，
∴B点的坐标为．
（2）解：设点P的坐标为．
∵的面积是15，
∴，
∴．
当点P在第一象限时，，．
∴；
当点P在第三象限时，，．
∴．
故所求点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得，过A点作轴于点M．根据勾股定理可得OA=5，由，即可求出答案.
（2）设点P的坐标为，根据三角形面积可得，分情况讨论即可求出答案.
22．（2024九下·东莞模拟）如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是，底部C点的俯角是，则教学楼的高度是多少米（结果保留根号）．
【答案】解：过点B作于点E，
在中，，米，
∴米，
在中，，米，
∴（米）．
∴教学楼的高度是（米）．
答：教学楼的高度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点B作于点E，在中，根据特殊角的三角函数值，正切定义可得CE，在中，根据特殊角的三角函数值，正切定义可得AE，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．（2024九下·东莞模拟）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的切线，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：．
【答案】（1）解：依题意，如图所示．
（2）解：，
．
又，
，
．
点在以为直径的圆上，
，
．
又为的切线，
．
，
，
，
．
在和中，
．
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；切线的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解；
（2）根据等边对等角可得，再根据直线平行性质可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则BD=BF，即可求出答案.
24．（2024九下·东莞模拟）已知正方形，将边绕点顺时针旋转至线段，的平分线所在直线与直线相交于点．
（1）如图1，当为锐角时，请先用“尺规作图”作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：；
（2）在（1）的条件下，
①的度数为________；
②连接，猜想线段和之间的数量关系，并证明；
（3）若正方形的边长，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE的长度．
【答案】（1）解：“尺规作图”补全图形如下图：
证明：如图，连接
∵四边形是正方形
∴
由旋转知，
∴
∵平分
∴
又
∴
∴
（2）①；
②解：
理由如下
如图，连接、和
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴
∵四边形为正方形
∴为等腰直角三角形
∴，
∴，即
∴
∴，即
（3）或
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】①连接，以为半径为圆心作，如图所示
∴
∵
∴
∴的度数为
（3）或
当为对角线时，如图所示
当为对角线时，如图所示，连接
由（2）可得，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴是等腰直角三角形
设，则
∵
∴
在中，
即
解得：
∴
综上所述，或
【分析】（1）根据作角平分线的方法作出的平分线，连接，根据正方形性质可得，根据旋转性质可得，再根据角平分线定义可得，由全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）①连接，以为半径为圆心作，根据正方形的性质得出，根据，则，的度数为；
②连接、和，根据等腰直角三角形的判定定理得出为等腰直角三角形，则，，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
（3）分情况讨论：为对角线时，根据边之间的关系即可求出答案；为对角线时，连接，根据相似三角形性质可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，设，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
25．（2024九下·东莞模拟）如图，抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，过N作交x轴于点D，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q，连接PK，当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点
∴，解得
∴抛物线的解析式为
∵
∴顶点坐标为
（2）解：延长MN交x轴于E
∵B（2，0），C（0，2）
∴OB=OC=2
∴
∵
∴
∴
∵A（-4，0）
∴直线AC解析式为
设
∵点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，
∴M点坐标为，N点坐标为
∴
∴
∴当时的值最大，最大值是，此时点M的坐标；
（3）P点坐标为、、、
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】解：∵将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，且，
∴相当于将抛物线先向右平移6个单位长度再向上平移3个单位长度，得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为
∴新抛物线与y轴交于点K坐标为
∵在（2）的条件下，当取最大值时，M的坐标
∴直线MK解析式为
∵P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q
∴设，则
∴
当时，
∵
∴，解得或
当时，，
当时，，故舍去
当时，
∵
∴，解得，此时
当时，
∵
∴，解得，解得或
当时，，
当时，
综上所述，当为等腰三角形时，P点坐标为、、、
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式可得抛物线的解析式为，转换为顶点式，即可得顶点坐标.
（2）延长MN交x轴于E，根据点坐标可得OB=OC=2，则，根据直线平行性质可得，则，求出直线AC解析式为，设，过M作轴，交AC于点N，则M点坐标为，N点坐标为，根据两点间距离可得，，列式化简，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移规律可得新抛物线解析式为，在（2）的条件下，当取最大值时，M的坐标，则直线MK解析式为，过P作轴交射线MK于点Q，设，则，根据两点间距离可得，，，分情况讨论：当时，当时，当时，建立方程，解方程即可求出答案.
2024年广东省东莞市清溪中学中考一模数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024九下·东莞模拟）第19届亚运会于10月8日在杭州闭幕．我国体育健儿在本届亚运会上奋力拼搏，以201枚金牌遥遥领先，圆满谢幕．下列体育运动图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九下·东莞模拟）已知一滴水的质量约是千克，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．千克 B．千克
C．千克 D．千克
3．（2024九下·东莞模拟）如图，已知，直角三角形的直角顶点在直线a上，若，则，（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·东莞模拟）将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九下·东莞模拟）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．作角A的平分线 D．内错角相等
6．（2024九下·东莞模拟）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九下·东莞模拟）如图，点 、 、 是 上的三点，若 ，则 的度数是（ ）.
A． B． C． D．
8．（2024九下·东莞模拟）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九下·东莞模拟）如图①，在中，，，动点D从点A出发，沿A→C→B以的速度匀速运动到点B，过点D作于点E，图②是点D运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九下·东莞模拟）已知：如图，正方形中，相交于点分别为边上的动点（点 不与线段的端点重合）且，连接．在点运动的过程中，有下列四个结论：①始终是等腰直角三角形；②面积的最小值是1；③至少存在一个，使得的周长是；④四边形的面积始终是1．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．③④
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024九下·东莞模拟）若，，则 ．
12．（2024九下·东莞模拟）计算： ．
13．（2024九下·东莞模拟）已知圆锥的母线长为6，底面圆的半径4，则它的侧面积为 ．
14．（2024九下·东莞模拟）设，是一元二次方程的两根，则 ．
15．（2024九下·东莞模拟）如图，矩形的顶点B和正方形的顶点E都在反比例函数的图象上，点B的坐标为，则点E的坐标为 ．
16．（2024九下·东莞模拟）如图，已知，，，，，若点P是上的一个动点，则的最小值为 ．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（2024九下·东莞模拟）解方程：
18．（2024九下·东莞模拟）如果，那么代数式的值．
19．（2024九下·东莞模拟）甲、乙两人玩转转盘游戏，如图所示的转盘被平均分成三个面积相等的扇形区域．额色分别为红、黄、蓝，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次），甲转动转盘两次，乙不看甲转出的结果猜测两次转出的颜色相同．若乙的猜测与甲转出的结果相同，则乙获胜；若乙的猜测与甲转出的结果不同，则甲获胜．
（1）甲转出的结果为“两次转出的颜色中没有红色”是 事件；（填“确定”或“随机”）
（2）请用列表或画树状图的方法求乙获胜的概率．
20．（2024九下·东莞模拟）某单位为响应政府号召，准备购买A、B两种型号的分类垃圾桶，购买时发现，A种型号的单价比B种型号的单价少50元，用2000元购买A种垃圾桶的个数与用2200元购买B种垃圾桶的个数相同．
（1）求A、B两种型号垃圾桶的单价各是多少元？
（2）若单位需要购买分类垃圾桶6个，总费用不超过3100元，求出所有不同的购买方式？
21．（2024九下·东莞模拟）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像在第一象限交于点，与y轴的负半轴交于点B，且．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标．
（2）点P是反比例函数图像上的点，若的面积是15，求点P的坐标．
22．（2024九下·东莞模拟）如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是，底部C点的俯角是，则教学楼的高度是多少米（结果保留根号）．
23．（2024九下·东莞模拟）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的切线，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：．
24．（2024九下·东莞模拟）已知正方形，将边绕点顺时针旋转至线段，的平分线所在直线与直线相交于点．
（1）如图1，当为锐角时，请先用“尺规作图”作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：；
（2）在（1）的条件下，
①的度数为________；
②连接，猜想线段和之间的数量关系，并证明；
（3）若正方形的边长，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE的长度．
25．（2024九下·东莞模拟）如图，抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，过N作交x轴于点D，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q，连接PK，当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D均不能找到一条直线，使图形沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A、B、D不是轴对称图形，不符合题意；
C能找到一条直线，使图形沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故C是轴对称图形，符合题意；
故答案为：C．
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数.
3．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解： ∵，
∴
∵直角三角板的直角顶点在直线上，
∴
∴
故选：
【分析】根据平行线的性质可知的度数，再根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移2个单位所得直线解析式为：；
再向下平移5个单位为：，
故答案为：C．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
5．【答案】C
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】两点确定一条直线，垂线段最短，同位角相等都是命题，而作角A的平分线为描述性语言，它不是命题．
故答案为：C．
【分析】根据命题的定义对各选项分别进行判断．
6．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】原式
故答案为：C
【分析】
先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可．
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵ ，OB=OC
∴
∵
故答案为：C.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半求解即可．
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：可设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意得，，
故答案为：A．
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余尺，可得，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺可得，据此列出方程组即可．
9．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据题意，面积最大是，此时D、C两点重合，如图所示，
在中，，
∴，，
又，
解得（负值舍去），
∴
故答案为：C．
【分析】根据题意可得，面积最大是，此时点D与点C重合，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得，根据三角形的面积即可求出，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵正方形中，，相交于点，
∴，互相垂直平分，且平分正方形的四个角，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴始终是等腰直角三角形．
∴选项①结论正确，符合题意；
∵始终是等腰直角三角形，
∴．
∴最小时，面积有最小值，
即当时，面积有最小值．
∵正方形中，，
又∵已证是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴面积的最小值为．
∴选项②结论错误，不符合题意；
∵，
又∵，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∴．
∵已证始终是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵已求最小值为1，
又∵当时，有最大值为，
∴，
∴，
∴，
故至少存在一个，使得的周长是，
选项③结论正确，符合题意；
∵已证，
∴，
∴，
∵已求，
∴．
选项④结论正确，符合题意；
综上，①③④结论正确，
故答案为：C．
【分析】通过正方形的性质，证明，从而得出始终是等腰直角三角形，，计算，即可得到．再由最小时，面积有最小值，先求得的最小值，从而得到面积的最小值．同理，运用，将的周长转化为，通过求范围，得到周长的范围．
11．【答案】80
【知识点】因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：80．
【分析】化简代数式，再整体代入即可求出答案.
12．【答案】7
【知识点】零指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：7
【分析】根据有理数的绝对值和零指数幂进行运算，进而即可求解。
13．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：依题意知母线长，底面半径，
则由圆锥的侧面积公式得，
故答案为：
【分析】根据圆锥侧面积公式即可求出答案.
14．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：1．
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，，则，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：点B的坐标为在反比例函数的图象上，
反比例函数的解析式为
四边形是正方形
又点在反比例函数图象上
不妨设 ，那么
，
故答案为：．
【分析】根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为，再根据正方形性质可得AD=ED，设 ，那么，再根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案。
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；胡不归模型
【解析】【解答】解：延长至E，使，连接，过P点作于D，如图所示，
垂直平分线段，
，
，
，
，
当与共线时，为最小值，
此时，，
，
，
故的最小值为；
故答案为：．
【分析】延长至E，使，连接，过P点作于D，则BP垂直平分线段，即CP=EF，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，当与共线时，为最小值，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】解：，
，
∴或，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先移项，再根据十字相乘法分解因式，再解方程即可求出答案.
18．【答案】解：
，
，
，
，
∵，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】根据分式的加法和除法法则化简题目中的式子，然后根据可以得到，然后整体代入化简后的式子即可求出答案.
19．【答案】（1）随机
（2）解：画树状图如下：
由图可知共有9种等可能的结果，其中两次转出的颜色相同的结果有3种，
乙获胜的概率为．
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）∵一共有3种颜色，每一种颜色被转出的可能性相同，
∴两次转出的颜色种可能有红色，也有可能没有红色，
∴甲转出的结果为“两次转出的颜色中没有红色”是随机事件，
故答案为：随机；
【分析】（1）根据两次转出的颜色种可能有红色，也有可能没有红色即可得到答案；
（2）画出树状图，得到所有等可能性的结果数，再找到转出两种颜色相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
20．【答案】（1）设、两种型号垃圾桶的单价分别为元，元，由题意列方程：
解得：
经检验知：是原方程的解，符合题意
∴
即、两种型号垃圾桶的单价是500元和550元．
（2）设购买A种型号垃圾桶为个，则：
解得：，
又∵单位需要购买分类垃圾桶6个
∵且为整数，
∴
所以购买A种型号垃圾桶为4个，B种型号垃圾桶为个；
A种型号垃圾桶为5个，B种型号垃圾桶为个；
A种型号垃圾桶为6个，B种型号垃圾桶为．
综上所述，共有三种购买方式，即购买A种型号垃圾桶为4个，B种型号垃圾桶为2个；A种型号垃圾桶为5个，B种型号垃圾桶为1个；A种型号垃圾桶为6个，B种型号垃圾桶为0个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设、两种型号垃圾桶的单价分别为元，元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买A种型号垃圾桶个，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
21．【答案】（1）解：∵在反比例函数的图像上，
∴，
∴．
过A点作轴于点M．
在中，，．
∴．
又∵，
∴B点的坐标为．
（2）解：设点P的坐标为．
∵的面积是15，
∴，
∴．
当点P在第一象限时，，．
∴；
当点P在第三象限时，，．
∴．
故所求点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得，过A点作轴于点M．根据勾股定理可得OA=5，由，即可求出答案.
（2）设点P的坐标为，根据三角形面积可得，分情况讨论即可求出答案.
22．【答案】解：过点B作于点E，
在中，，米，
∴米，
在中，，米，
∴（米）．
∴教学楼的高度是（米）．
答：教学楼的高度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点B作于点E，在中，根据特殊角的三角函数值，正切定义可得CE，在中，根据特殊角的三角函数值，正切定义可得AE，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）解：依题意，如图所示．
（2）解：，
．
又，
，
．
点在以为直径的圆上，
，
．
又为的切线，
．
，
，
，
．
在和中，
．
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；切线的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解；
（2）根据等边对等角可得，再根据直线平行性质可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则BD=BF，即可求出答案.
24．【答案】（1）解：“尺规作图”补全图形如下图：
证明：如图，连接
∵四边形是正方形
∴
由旋转知，
∴
∵平分
∴
又
∴
∴
（2）①；
②解：
理由如下
如图，连接、和
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴
∵四边形为正方形
∴为等腰直角三角形
∴，
∴，即
∴
∴，即
（3）或
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】①连接，以为半径为圆心作，如图所示
∴
∵
∴
∴的度数为
（3）或
当为对角线时，如图所示
当为对角线时，如图所示，连接
由（2）可得，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴是等腰直角三角形
设，则
∵
∴
在中，
即
解得：
∴
综上所述，或
【分析】（1）根据作角平分线的方法作出的平分线，连接，根据正方形性质可得，根据旋转性质可得，再根据角平分线定义可得，由全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）①连接，以为半径为圆心作，根据正方形的性质得出，根据，则，的度数为；
②连接、和，根据等腰直角三角形的判定定理得出为等腰直角三角形，则，，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
（3）分情况讨论：为对角线时，根据边之间的关系即可求出答案；为对角线时，连接，根据相似三角形性质可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，设，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
25．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点
∴，解得
∴抛物线的解析式为
∵
∴顶点坐标为
（2）解：延长MN交x轴于E
∵B（2，0），C（0，2）
∴OB=OC=2
∴
∵
∴
∴
∵A（-4，0）
∴直线AC解析式为
设
∵点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，
∴M点坐标为，N点坐标为
∴
∴
∴当时的值最大，最大值是，此时点M的坐标；
（3）P点坐标为、、、
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】解：∵将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，且，
∴相当于将抛物线先向右平移6个单位长度再向上平移3个单位长度，得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为
∴新抛物线与y轴交于点K坐标为
∵在（2）的条件下，当取最大值时，M的坐标
∴直线MK解析式为
∵P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q
∴设，则
∴
当时，
∵
∴，解得或
当时，，
当时，，故舍去
当时，
∵
∴，解得，此时
当时，
∵
∴，解得，解得或
当时，，
当时，
综上所述，当为等腰三角形时，P点坐标为、、、
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式可得抛物线的解析式为，转换为顶点式，即可得顶点坐标.
（2）延长MN交x轴于E，根据点坐标可得OB=OC=2，则，根据直线平行性质可得，则，求出直线AC解析式为，设，过M作轴，交AC于点N，则M点坐标为，N点坐标为，根据两点间距离可得，，列式化简，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移规律可得新抛物线解析式为，在（2）的条件下，当取最大值时，M的坐标，则直线MK解析式为，过P作轴交射线MK于点Q，设，则，根据两点间距离可得，，，分情况讨论：当时，当时，当时，建立方程，解方程即可求出答案.
