湖南省常德市临澧一中普通班 2024-2025 学年高一下学期第一次段考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = {第一象限角}， = {锐角}， = {小于90°的角}，那么 、 、 关系是( )
A. ∪ = B. = ∩ C. D. = =
2.“幂函数 ( ) = ( 2 1) 1在(0,+∞)单调递减”是“ = 2”的( )
A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充要条件
3.已知向量 和 满足| | = 3，| | = 2，| + | = √ 7，则向量 在向量 上的投影向量为( )
1 1
A. B. C. D.
3 3
4.碳14具有放射性.活体生物组织内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已知碳
1
14的半衰期约为5730年，即生物死亡 年后，碳14含量 ( ) = 0( )5730，其中 0为活体生物组织内碳14的2
含量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代. 2025年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的含
1
量约为原始含量的0.92，已知( )2.12 ≈ 0.23，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为( )
2
A. 宋(公元960～1279年) B. 元(公元1271 1368年)
C. 明(公元1368 1644年) D. 清(公元1636 1912年)
5.已知函数 ( ) = log 1(3 2 + 5)在[ 1,+∞)上单调递减，则实数 的取值范围是( )
2
A. [ 8, 6] B. ( 8, 6]
C. ( ∞, 8) ∪ ( 6,+∞) D. ( ∞, 6]
2
6.已知角 的大小如图所示，则sin +3 =( )
2
A. 11
59
B.
8
45
C.
8
127
D.
16
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7.如图，在边长为2的菱形 中，∠ = ，点 ， 分别在边 ， 上，
3
13
且 = ，若 = ，则 =( )
2
1
A.
2
2
B.
3
C. 1
3
D.
2
8.邢台一中数学探索馆中“圆与非圆—搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边
三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒
洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知 = 2， 为弧 上的一点，且∠ = ，则 的最小
值为( )
A. 0 B. 2√ 3 4 C. 2 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 15 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法中错误的是( )
A. 设 ， 为非零向量，若| + | = | |，则 ⊥
B. 设 ， 为非零向量，若 > 0，则 ， 的夹角为锐角
C. 设 ， ， 为非零向量，则( ) = ( )
D. 若点 为△ 的外心，则 + + = 0
10.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < )的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
2
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A. 函数 ( )的图象可由 = 2 的图象向左平移 个单位得到
3
11
B. = 是 ( )图象的一条对称轴
12
C. 若| ( 1) ( 2)| = 2，则| 2 1|的最小值为 2
1 10
D. 直线 = 与函数 = ( )在[0, ]上的图象有7个交点
2 3
11.如图，在边长为1的正方形 中，点 是线段 上的一点，点 ， 分别为线
段 ， 上的动点，且 = ， = (0 < < 1,0 < < 1)，点 ， 分
别为线段 ， 的中点，则下列说法正确的是( )
A. 2 = +
B.
3
的最小值为
4
C. 若 + = 1，则|
√ 2
|的最小值为
4
1 3
D. 若 = ，| | = ，则 的最大值为
2 16
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (2, 1)， = (1, 2)，(2 + )//( 2 )，则 = ______．
13.已知直角梯形 中， // ，∠ = 90°， = 2， = 1， 是腰 上的动点，则| + 3 |的
最小值为______．
14.已知 ( )， ( )是定义域为 的函数，且 ( )是奇函数， ( )是偶函数，满足 ( ) + ( ) = 2 + + 2，
( ) ( )
若对任意的1 < 1 < 2 < 2，都有
1 2 > 3成立，则实数 的取值范围是______．
1 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知 ∈ ，集合 = { |3 2 ≤ ≤ }， = { | 4 ≤ ≤ 4}．
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(1)若 = 1，求( ) ∩ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
已知向量 = ( , 1)， = (1, sin( ))， ( ) = ．
3
(1)求函数 ( )的单调递增区间和最小正周期；
(2)若当 ∈ [0, ]时，关于 的不等式2 ( ) 1 ≤ 有解，求实数 的取值范围．
4
17.(本小题12分)
+ 1
已知函数 = ( ) = 2 是定义域为 的奇函数，且 (1) = ． + 5
(1)求函数 = ( )的表达式；
(2)判断函数 = ( )在[ 2,2]上的单调性，并用定义证明；
(3)设函数 = ( ) = + 1 4 ，若对任意的 1 ∈ [ 2,2]，存在 2 ∈ [ 2,2]，使得 ( 1) ≤ ( 2)成立，求
实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
如图，在等腰梯形 中， // ， = 2 = 2 = 2 ， 为线段 中点， 与 交于点 ，
连 ， 为线段 上的一个动点．
(1)用基底{ , }表示 ；
(2)求 的值；
3
(3)设 = + ，求 ( 2)的取值范围．
19.(本小题12分)
1 1 1
问题：已知 、 、 均为正实数，且 + + = 1，求证： + + ≥ 9．
1 1 1
证明： + + = ( + + )( + + ) = 3 + ( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9，当且仅当
= = = 3时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题：
1 4 9
(1)已知 、 、 均为正实数，且 + + = 1，求 + + 的最小值；
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2 2
(2)已知 、 、 、 均为正实数，且 22 2 = 1，求证：
2 ≤ ( )2；
(3)求 = √ 5 9 √ 2的最小值，并求出使得 取得最小值时 的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 6
13.【答案】5
3
14.【答案】[ , +∞)
4
15.【答案】解：(1) ∈ ，集合 = { |3 2 ≤ ≤ }， = { | 4 ≤ ≤ 4}，
当 = 1时， = { | 5 ≤ ≤ 1}，
∴ = { | < 5且 > 1}，
∴ ( ) ∩ = { | 1 < ≤ 4}．
(2) ∵“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，
∴ ，
当 为空集时，则3 2 > ，解得 > 1，
3 2 ≤ 3 2 ≤
2
当 不为空集时，则{3 2 > 4或{3 2 ≥ 4，解得 ≤ ≤ 1，
3
≤ 4 < 4
2
综上，实数 的取值范围为{ | ≥ }.
3
1 √ 3
16.【答案】解：(1)因为 ( ) = = + sin( ) = + = sin( + )，
3 2 2 3
所以函数 ( )的最小正周期 = 2 ；
因为函数 = 的单调增区间为[ + 2 , + 2 ]， ∈ ，
2 2
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所以 + 2 ≤ + ≤ + 2 ， ∈ ，
2 3 2
5
解得 + 2 ≤ ≤ + 2 ， ∈ ，
6 6
5
所以函数 ( )的单调增区间为[ + 2 , + 2 ]， ∈ ；
6 6
+1
(2)不等式2 ( ) 1 ≤ 有解，即 ≥ ( ) ；
2
7 7 5
因为 ∈ [0, ]，所以 ≤ + ≤ ，又sin = sin > sin ，
4 3 3 12 12 12 3
√ 3
故当 + = ，即 = 0时， ( )取得最小值，且最小值为 (0) = ，
3 3 2
所以 ≥ √ 3 1．
1
17.【答案】解：(1)因为 = ( )是定义域为 的奇函数，且 (1) = ，
5
(0) = = 0 = 0
所以{ ，解得{ ，
1+ 1
(1) = = = 4
1+ 5
所以 ( ) =
2
；
+4
(2)函数 ( ) = 2 在[ 2,2]上单调递增，证明如下： +4
任取 1， 2 ∈ [ 2,2]，且 1 < 2，
则 ( 1) (
1 2
2) = 2 2 1+4 2+4
1(
2
2+4) 2(
2
= 1
+4)
2 2 ( 1+4)( 2+4)
( 1 2 4)( 2 1)=
( 2
，
1+4)(
2
2+4)
因为 2 ≤ 1 < 2 ≤ 2，
所以 1 2 4 < 0， 2 1 > 0，
( 4)( )
所以 1 2 2 1
( 2+4)( 2
< 0，
1 2+4)
即 ( 1) ( 2) < 0，
所以 ( 1) < ( 2)，
所以函数 ( ) = 2 在[ 2,2]上单调递增； +4
(3)由(1)得 ( ) = 2 ， +4
若对任意的 1 ∈ [ 2,2]，存在 2 ∈ [ 2,2]，使得 ( 1) ≤ ( 2)成立，
则 ( ) ≤ ( ) ，
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由(2)得 ( ) = 在[ 2,2]上单调递增，
2+4
1
所以 ( ) = (2) = ， 4
1
存在 2 ∈ [ 2,2]， ( 2) = 2 + 1 4 ≥ 成立， 4
1
即 ( ) ≥ ， 4
若 > 0，则 ( ) = + 1 4 在[ 2,2]上为增函数，
1
所以 ( ) = (2) = 1 2 ≥ ， 4
3
所以0 < ≤ ；
8
1
若 = 0，则 ( ) = 1 ≥ ，此时 = 0符合题意；
4
若 < 0，则 ( ) = + 1 4 在[ 2,2]上为减函数，
1
所以 ( ) = ( 2) = 1 6 ≥ ，所以 < 0符合题意； 4
3
综上可知： ≤ ，
8
3
即实数的取值范围是：( ∞, ]．
8
18.【答案】解：(1)因为 = + ①， = + + ②，
因为 为线段 中点，所以 = ，
1
因为 = ，
2
则①+②得：2 = + +
3
= + ，
2
3 1
整理得： = + ，
4 2
所以 =
3 1 = +
3 1
= ；
4 2 4 2
3 1 3
(2)由 与 交于点 ，设 = = ( + ) = + ③，
4 2 4 2
设 = ，可得 = ( )，即 = (1 ) + ④，
3
= 1 4 4 4
由③④得{ 4 ，消去 得 = ，所以
= ，即 = ．
= 5 5 3 3
2
1
(3)由题意，可设 = (0 ≤ ≤ )，
2
代入 = + 中并整理可得： = ( ) + ( + ) = ( + ) + ( ) ．
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又
1
= + = + ，
2
1 = 1
+ =
所以由平面向量基本定理可得：{ 2，即{ 3 ．
= 1 = 2( +1)
1 3 1 3
因为0 ≤ ≤ ，且函数 = 在[0, ]上单调递减，所以1 ≤ ≤ ，
2 2( +1) 2 2
3 1
所以 ( 2) = ( 1)( 2) = ( )2 ，
2 4
3 1 3
因为函数 ( ) = ( )2 在[1, ]单调递减，
2 4 2
3 1
所以 ( ) = (1) = 0， ( ) = ( ) = ， 2 4
1
所以 ( 2)的取值范围为[ , 0]．
4
19.【答案】解：(1)因为 、 、 均为正实数，且 + + = 1，
1 4 9 1 4 9 4 9 9 4
则 + + = ( + + )( + + ) = (1 + + ) + ( + 4 + ) + ( + + 9)
4 9 9 4 4 9 9 4
= 14 + ( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 14 + 2√ + 2√ + 2√
= 14 + 4 + 6 + 12 = 36，
1
=
4 9 9 4
6
1
当且仅当 = ，且 = ，且 = 时，即当 = 时等号成立，
3
1
{ = 2
1 4 9
所以 + + 的最小值为36．
2 2
(2)证明：因为 、 、 、 均为正实数，且 2 2 = 1，
2 2
2
2
则 2 2 = ( 2 2)( ) = 2 + 22 2 (
2 2
2
+ 2 )，
2
2
由基本不等式有 2 + 2 ≥ 2 = 2 ，
2 2
2
2 2
当且仅当 2
2 = 2
2
时，即当 = 2时，等号成立，
2 2
所以 2 2 2
= + 2 ( 2 2 2 2
2
+ 2 ) ≤ + 2 ，
故 2 2 ≤ ( )2．
5 9 ≥ 0
(3)对于代数式 = √ 5 9 √ 2，有{ ，可得 ≥ 2，
2 ≥ 0
此时，(5 9) ( 2) = 4 7 > 0，则5 9 > 2，
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所以， = √ 5 9 √ 2 > 0，
5 9 2 4 2√ 5
由(2)中的结论可得 2 = (√ 5 9 √ 2)2 ≥ ( )(5 1) = ，可得 ≥ ，
5 1 5 5
√ 5 9 41 2√ 5
当且仅当 = 5时，即当 = 时， 取最小值 ．
√ 2 20 5
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