4.2全等三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，，的对应点分别是B，D．若，，，则（ ）
A．6 B．9 C．8 D．无法确定
2．如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
3．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC．其中正确的是( )
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
4．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC≌△A′B′C，且点B′在AB边上，点A′恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是( )
A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B
C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′
6．如图，，和是对应角，和是对应边，其他对应边及对应角正确的是（ ）
A．和是对应角 B．和是对应角
C．和是对应边 D．和是对应边
7．如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1．已知，则和的关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（ ）对全等三角形．
A．15 B．16 C．18 D．21
9．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．115° B．65° C．40° D．25°
10．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
B．面积相等的两个三角形一定是全等三角形
C．两个等边三角形是全等三角形
D．有两条边对应相等的两个直角三角形全等
12．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
13．如图，，点在同一条直线上，，则的长为 ．
14．如图，△ABC≌△DBE，△ABC的周长为30，AB＝9，BE＝8，则AC的长是 ．
15．如图，△ABC≌△DEF，点B、F、C、E在同一条直线上，AC、DF交于点M，∠ACB＝43°，则∠AMF的度数是 °．
16．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（单位：）．当与全等时，x的值是 ．
17．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为 ．
三、解答题
18．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
(1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ；
(2)若，，则的长为 ；
(3)若，，求的度数．
19．图，在中，，，，BD是的角平分线，点E在AB边上，．求的周长．
20．如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5
（1）PC＝ cm（用含t的代数式表示）
（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
21．如图所示，直线与交于点，，试判断与的位置关系，并说明理由．
22．如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一直线上．
(1)若∠BED＝130°，∠D＝70°，求∠ACB的度数；
(2)若2BE＝EC，EC＝6，求BF的长．
23．如图，已知，点E在上，与相交于点F．
(1)若，，求线段的长；
(2)已知，，求的度数．
24．如图，在中，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作交线段于E．
(1)当时， ；点D从B向C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）；
(2)当等于多少时，，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形．
《4.2全等三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C C C A D D C B
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．C
【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．
【详解】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC=AF，EF=BC，∠EAF=∠BAC，故①③正确；
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误，④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．
4．C
【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，
PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
所以A正确，不符合题意；
PQ=PB=4，
PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
所以B正确，不符合题意；
∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以D正确，不符合题意；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵PC=5，QC=PA=3,
∴PC≠2QC，
∵∠PQC=90°，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以C不正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
5．C
【分析】根据全等三角形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵△ABC≌△A′B′C，
∴，
∴，
∴∠BCB′＝∠ACA′，故A正确；
∵△ABC≌△A′B′C，
∴，
∴，
∵，
∴∠ACB＝2∠B，故B正确；
∵△ABC≌△A′B′C，
∴，
∵无法判断和是否相等，
∴∠B′CA和∠A不一定相等，
∴∠B′CA和∠B′AC不一定相等，故C错误；
∵△ABC≌△A′B′C，
∴，
∵，
∴，
即B′C平分∠BB′A′，故D正确；
故选：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
6．A
【分析】根据全等三角形的对应关系逐项判断即可．
【详解】解：因为，和是对应角，和是对应边，
所以，A. 和是对应角，符合题意；
B. 和是对应角，原选项错误，不符合题意；
C. 和是对应边，原选项错误，不符合题意；
D. 和是对应边，原选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的对应关系，解题关键是明确相等的线段和角为对应边或角．
7．D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
8．D
【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形，
图2中有6对全等三角形，
图3中有10对全等三角形，
…
第个图中，有对全等三角形，
∴第5个图中有对全等三角形．
故选：D．
9．C
【分析】根据三角形内角和定理求出∠2，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：由三角形内角和定理得，∠2=180°-115°-25°=40°，
∵两个三角形全等，
∴∠1=∠2=40°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解本题的关键．
10．B
【分析】在中由三角形内角和180°可求出，由全等三角形对应角相等可得即可求解．
【详解】解∶在中，，
∴
又∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查三角形内角和与全等三角形的性质，熟记相应的概念是解题的关键．
11．D
【分析】根据角平分线的判定可判断选项A错误，根据全等三角形的判定可判断选项B、C错误，选项D正确，即可得．
【详解】解：A、根据角平分线的判定“角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上”，选项说法错误，不符合题意；
B、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，选项说法错误，不符合题意；
C、两个等边三角形不是全等三角形，再有一条对应边相等才行，选项说法错误，不符合题意；
D、有两条边对应相等的两个直角三角形全等，选项说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定，解题的关键是掌握这些知识点．
12．B
【分析】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得
【详解】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，
AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC
同理可得
又
故①正确
②如图，延长至，使，连接
，
如图，取的中点，连接并延长至，使得，
是的中点，
，
，
又
③如图，由①可知，故不一定等于
故③不正确
④如图，由②可知，
故④正确
综上所述，故正确的有①②④
故选B
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
13．1
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段的和差计算，根据全等三角形对应边相等得到，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：1．
14．13
【分析】根据全等三角形的性质求出BC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DBE，BE＝8，
∴BC＝BE＝8，
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30，
∴AC＝30﹣AB﹣BC＝13，
故答案为：13．
【点睛】此题主要考查全等三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的性质．
15．86
【分析】根据全等三角形的性质可得∠DFE＝∠ACB＝43°，再由三角形外角的性质即可求出∠AMF的度数．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∠ACB＝43°，
∴∠DFE＝∠ACB＝43°，
∵∠AMF＝∠DFE＋∠ACB，
∴∠AMF＝86°．
故答案为：86．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质及三角形外角的性质，掌握全等三角形的性质是解答此题的关键．
16．1或1.5
【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可．
【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，，
∴，，，
∵，
∴当与全等时，有两种情况：
①当时，
∴，
∴，，
解得，；
②当时
∴，，
解得，，
综上所述，x的值是1或1.5，
故答案为：1或1.5．
17．48
【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键．
根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由平移的性质知，，，
，
，
，
，
故答案为48
18．(1)E，
(2)3
(3)
【分析】本题主要考查了轴对称，成轴对称的两个图形的全等性：
（1）观察图形可直接得出答案；
（2）根据成轴对称的两个图形的全等性可得，根据全等三角形对应边相等即可求解；
（3）根据，，推出，根据对称性得到，推出．
【详解】（1）解：∵和关于直线对称，
∴图中点C的对应点是点E，的对应角是；
故答案为：E，．
（2）解：∵和关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：3．
（3）解：∵，，
∴，
根据对称性知，，
∴．
19．
【分析】由题意结合角平分线性质和全等三角形判定得出，进而依据的周长进行求解即可.
【详解】解：∵，，，
∴,
∵BD是的角平分线，
∴,
在和中，
,
∴，
∴，
∵，
∴的周长.
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握利用全等三角形的判定与性质以及角平分线性质进行边的等量替换是解题的关键.
20．（1）(10﹣2t)；（2）当v=2或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【分析】（1）根据题意求出BP，然后根据PC=BC-BP计算即可；
（2）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）∵点P的速度是2cm/s，
∴ts后BP=2tcm，
∴PC=BC BP=(10 2t)cm，
故答案为：(10﹣2t)；
（2）由题意得：，∠B=∠C=90°，
∴只存在△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，
当△ABP≌△PCQ时，
∴AB=PC，BP=CQ，
∴10 2t=6，2t=vt，
解得，t=2，v=2，
当△ABP≌△QCP时，
∴AB=QC，BP=CP，
∴2t=10-2t， vt=6，
解得，t=2.5，v=2.4，
∴综上所述，当v=2或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
21．，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定，根据全等三角形对应角相等得到 ，从而利用平行线的判定定理可判断．
【详解】解：．理由如下：
，
，（全等三角形的对应角相等．）
．（内错角相等，两直线平行．）
22．(1)60°
(2)12
【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出∠F，再根据全等三角形的对应角相等解答；
（2）根据题意求出BE、BC，再根据全等三角形的性质解答．
【详解】（1）解：∵∠BED＝130°，∠D＝70°，
∴∠F＝∠BED－∠D＝60°，
∵ABC≌DEF，
∴∠ACB＝∠F＝60°；
（2）∵2BE＝EC，EC＝6，
∴BE＝3，
∴BC＝BE＋EC＝9，
∵ABC≌DEF，
∴EF＝BC＝9，
∴BF＝EF＋BE＝12．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴；
（2）∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
24．(1)；小
(2)2，理由见解析
(3)当或时，是等腰三角形
【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出，根据点的运动方向可判定的变化情况．
（2）假设，利用全等三角形的对应边相等得出，即可求得答案．
（3）假设是等腰三角形，分为三种情况：①当时，，根据，得出此时不符合；②当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出，根据三角形的内角和定理求出即可；③当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出．
【详解】（1）解：；
从图中可以得知，点从向运动时，逐渐变小；
故答案为：；小；
（2）解：，，
，
，
当时，；
（3）解：，
，
①当时，，
，
此时不符合；
②当时，即，
，
；
；
③当时，，
，
；
当或时，是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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