5.2简单的轴对称图形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，中， ，，的垂直平分线交于，交于，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，的垂直平分线l交于点M，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是中边上的垂直平分线，如果，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．如果的一个外角等于，且，则（ ）
A． B． C． D．或
5．如图所示，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD．若的周长为10，，则的周长为（ ）
A．7 B．10 C．17 D．20
6．如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（ ）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为AC上一点，PA＝2，点D在AB上，且∠A＝∠PDA，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE，则线段DE的长为（ ）
A．4.75 B．5.25 C．6.5 D．7.75
8．某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，，D是斜边上一点，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）
A．顶角的平分线 B．底边上的高
C．底边上的高所在的直线 D．腰上的高所在的直线
11．如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（ ）
A．30 B．35° C．40° D．50°
12．如图，△ABC中，AC垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD周长为13cm，AE＝4.5cm．则△ABC周长为（ ）
A．22cm B．18cm C．26cm D．21cm
二、填空题
13．如图，用尺规作图作已知角的平分线，原理是构造两个三角形全等．它所用到的判别方法是 ．
14．等腰三角形是 图形，顶角平分线（或底边上的高线或中线）所在的直线是它的 ．
15．如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E．若，，则的周长为 ．
16．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 ．（填序号）①平分；②；③；④．
17．如图，在等腰中，，为的角平分线，若的周长为，的周长为，则的长为 ．
三、解答题
18．把一条长的铁丝弯成顶角为的等腰三角形，求此三角形的各边长（结果精确到）．
19．如图，已知MN是AD的垂直平分线，点C在MN上，，，，BD交MN于点E，交AC于点F，连接AE．求和的度数．（提示：在中，若，则）
20．如图，在中，，求的长．（提示：作出边上的高，借助的面积求解）．
21．如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要多少？
22．如图，中，，D是上一点，延长至E，使．试确定与的位置关系，并证明你的结论（一题多解）．
23．（1）如图，已知为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点．使．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在上图中，如果，则的周长是_______．
24．如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆．三角形的内心是否都在三角形内部？
《5.2简单的轴对称图形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D C D A B C C
题号 11 12
答案 C A
1．C
【分析】先根据线段垂直平分线的性质求出，再通过等量代换求出即可求解．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
，
的周长.
，，
的周长．
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，属较简单题目．解答此题的关键是求出△BDC的周长＝BC+AC，这也是此题的突破点．
2．B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识点．熟记相关知识点内容是解题关键．连接得，由得，根据等边对等角可设，则，利用建立方程即可求解．
【详解】解：连接，如图，
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式进行求解即可.
【详解】解：∵是中边上的垂直平分线，
∴，
∵，
∴的周长为，
故选：B.
4．D
【分析】根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可以得到：（1）当这个150°的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角形的顶角为30°；（2）当这个150°的外角为底角的外角时，可以得到这个等腰三角形的顶角为180° 30° 30°＝120°．
【详解】分两种情况：（1）当这个150°的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角形的顶角∠A为30°；
（2）当这个150°的外角为底角的外角时，可以得到这个等腰三角形的顶角∠A为180° 30° 30°＝120°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
5．C
【详解】解析：首先根据题意可得MN是线段AB的垂直平分线，即可得，又由的周长为10，求得，则可求得的周长为．
答案：C
易错：B
错因：不能根据作图得出MN是线段AB的垂直平分线，从而直接误以为和的周长相等．
满分备考：线段的垂直平分线是一条直线，而非线段．对于含有尺规作图的题目，需首先根据作图方法判断出所作图形，再结合题目所给条件解决问题．
6．D
【分析】根据作图过程可得，是的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明，可得再根据勾股定理可得AB的长，即可判定得出结论．
【详解】解：A，根据作图过程可得，是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
B，如图，
由矩形的性质可以证明，
∵是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
C，
在中
故此选项不符合题意．
D，
故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
7．A
【分析】连接PE，根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8-x，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：连接PE，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A=∠PDA，
∴∠PDA+∠EDB=90°，PA=PD=2，
∴∠PDE=180°-90°=90°，
∴DE⊥DP，
设DE=x，则EB=ED=x，CE=8-x，PC=AC-PA=6-2=4，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴42+（8-x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75，
故选A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
8．B
【分析】用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离．
【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于M，
根据两点之间线段最短，可知机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短．
故选：B．
【点睛】本题考查了最短路径的数学问题，这类问题的解答依据是两点之间，线段最短，由于所给条件的不同，解决方法和策略上有所差别．
9．C
【分析】将△ABD绕点A逆时针旋转90°得△ACE，连结DE，由旋转可得AD=AE，∠ACE=∠B，BD=CE=1，由，可得∠ABC=∠ACB=45°， 可求∠DCE=90°，在Rt△DCE中，由勾股定理得，由AD=AE，∠DAE=90°，在Rt△ADE中，求出AD即可．
【详解】解：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得△ACE，连结DE，
∴AD=AE，∠ACE=∠B，BD=CE=1，
∵，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
在Rt△DCE中，，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴在Rt△ADE中
∴AD=5，
故选择C．
【点睛】本题考查图形旋转性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，掌握图形旋转性质，等腰直角三角形性质，勾股定理是关键．
10．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及轴对称图形的性质，根据等腰三角形据等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合即可得出答案．
【详解】解：等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在直线、底边上的高所在直线、底边上的中线所在直线、底边上的垂直平分线，
故选：C
11．C
【分析】旋转中心为点A，B与，C与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵C、为对应点，点A为旋转中心，
∴，即为等腰三角形，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了等边对等角，平行线的性质．
12．A
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵DE是AC的中垂线，
∴AD=CD，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，
又∵AE=4.5cm，
∴AC=2AE=2×4.5=9cm，
∴△ABC的周长=13+9=22（cm）．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．
13．/边边边
【分析】本题考查了作图，全等三角形的判定与性质．利用作图痕迹得到，，加上为公共边，则根据可判断，从而得到．
【详解】解：由作图痕迹得到，，
∵，
∴，
∴，
即平分．
故答案为：．
14． 轴对称 对称轴
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，轴对称图形的定义，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据轴对称的定义，等腰三角形的性质，进行解答即可．
【详解】解：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴．
故答案为：轴对称；对称轴．
15．12
【分析】本题考查角平分线的性质，先根据角平分线的性质得出，再将的周长转化为，即可得出答案．
【详解】∵平分，，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：12
16．①②③④
【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【详解】①过点作于，
∵平分，平分，，，，
，，
，
点在的角平分线上，故①正确；
②∵，，
，
．
在和中，，
，
，
同理：，
，
，
，②正确；
③∵平分，平分，
，，
，③正确；
④由②可知，
，，
，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定，掌握定理是解题的关键．
17．4
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，直接利用三线合一可得，再进一步解答即可．
【详解】解：∵，为的角平分线，
∴，
∵的周长为，的周长为，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：4．
18．，，．
【分析】设等腰三角形为△ABC，∠A=150°，∠B=∠C=15°，构造等腰三角形CBD和等腰三角形AHD来解答．
【详解】解：如图：
设等腰三角形为△ABC，∠A=150°，∠B=∠C=15°，设AB=AC=x，BC=y
延长CA至D点使∠BDC=15°
∴BD=BC=y
过D作DH⊥AB于H
有∠DAB=30°，∠DBH=∠HDB=45°
所以DH=BH=，
在△DHA中，，
又有2x+y=1.35，
解得x≈0.34，y≈0.67．
所以，此三角形的各边长分别为，，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和解直角三角形，作出适当辅助线是解题的关键．
19．，
【详解】解析：连接CD，利用轴对称的性质进行解答即可．
答案：解：如图，连接CD，
∵MN垂直平分AD，点C、E在MN上，根据点A、D关于MN的对称性，得，，，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
．
易错：，．
错因：弄错所求角所在的三角形．
满分备考：掌握轴对称的性质和线段垂直平分线的性质是解题关键．
20．
【分析】作出AB边上的高CD，由等腰直角三角形的性质得出CD＝AB，由△ABC的面积得出AB×AB＝AC×BC，即AB2＝2a2，即可得出结果．
【详解】解：作出AB边上的高CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，CB＝CA＝a，
∴CD＝AB，
∵△ABC的面积＝AB×CD＝AC×BC，
∴AB×AB＝AC×BC，
∴AB2＝2a2，
∴AB＝．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形面积公式；熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
21．扳手张开的开口b至少要12mm．
【分析】由题意可得：六边形为正六边形，可得六边形的六条边相等，每个内角为过点A作AG⊥BF，垂足为点G，再利用含的直角三角形的性质求解 再利用勾股定理求解 结合等腰三角形的性质可得答案.
【详解】解：如图所示，由题意得：六边形为正六边形，
六边形的六条边相等，每个内角为
过点A作AG⊥BF，垂足为点G，
因为∠BAF＝120°，
所以∠BAG＝60°，
所以∠ABG＝30°，
在Rt△ABG中，AB＝12mm，∠AGB＝90°，∠ABG＝30°，
所以AG＝AB＝×12＝6(mm)，
由勾股定理得BG＝＝＝6(mm)，
即b＝BF＝2BG＝2×6＝12 (mm).
答：扳手张开的开口b至少要12mm．
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练应用以上知识解题是解题的关键.
22．见解析
【分析】解法一：如图所示，延长ED到F交BC于F，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质证明∠B+∠BDF=90°即可得到答案；
解法二：如图，过点D作DF∥BC交AC于F，根据三角形内角和定理和平行线的性质证明∠ADF+∠EDA=90°，即可得到答案．
【详解】解：ED⊥BC，证明如下：
解法一：如图所示，延长ED到F交BC于F，
∵AB=AC，AD=AE，
∴∠E=∠ADE，∠C=∠B，
∵∠ADE=∠BDF，
∴∠E=∠BDF，
∵∠E+∠C=∠BFD，∠B+∠BFD+∠BDF=180°
∴∠E+∠B+∠C+∠BDF=180°即2∠B+2∠BDF=180°，
∴∠B+∠BDF=90°，
∴ED⊥BC；
解法二：如图，过点D作DF∥BC交AC于F，
∵AB=AC，AD=AE，
∴∠E=∠ADE，∠C=∠B，
∵DF∥BC，
∴∠B=∠ADF，∠C=∠AFD
∴∠AFD=∠ADF，
∵∠E+∠EDF+∠EFD=180°，即∠E+∠EDA+∠ADF+∠EFD=180°，
∴2∠ADF+2∠EDA=180°，
∴∠ADF+∠EDA=90°，
∴∠EDF=90°，
∴ED⊥DF，
∴ED⊥BC．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，垂直的判定，三角形外角的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．（1）见解析；（2）9．
【分析】（1）直接根据垂直平分线-尺规作图方法作图即可；
（2）根据（1）中可知，即可求得的周长．
【详解】（1）作法：如图所示，
①连接（用虚线），
②作的垂直平分线交于，
③标出点即为所求，
（2）∵，
∴，
∴的周长＝9．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的做法－尺规作图，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．
24．作图见解析；三角形的内心都在三角形的内部
【分析】分别作三角形的角平分线，以角平分线的交点为圆心，交点到三角形的边的距离为半径作圆即可，由图可知三角形的内心都在三角形的内部．
【详解】如图所示，
由图可知三角形的内心都在三角形的内部．
【点睛】本题考查了三角形的内心，作角平分线，作垂线，理解三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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