2024-2025学年广西崇左市宁明县某校八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共 12小题，每小题 3分，共 36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.二次根式 3 6在实数范围内有意义，则 的取值范围是( )
A. ≤ 2 B. ≥ 2 C. > 2 D. ≠ 2
2.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. 2 + 1 = 0 B.
2 + + = 0
C. ( + 2)( 3) = 2 4 D. 2 3 + 2 = 0
3.如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，点 为边 的中点，若菱形 的周长为 20，则
的长是( )
A. 1.5
B. 2
C. 2.5
D. 3.5
4.“读书正当时，莫负好时光”，如图所示的折线统计图反映了某学习小组 13 名学生的课外阅读量，则该
小组学生课外阅读量的中位数和众数分别是( )
A. 1，1 B. 2，1 C. 1，2 D. 2，5
5.关于 的一元二次方程 2 ( 1) = 0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个相等的实数根 D.总有实数根
6.一个多边形内角和与它的外角和的比为 7：2，则这个多边形的边数为( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
7.若 、 是方程 2 + 2 2026 = 0 的两个根，则 2 + 3 + =( )
A. 2026 B. 2027 C. 2024 D. 2029
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8.如图，一棵树在离地面 6 米的点 处折断，树的顶部落在离根部 8 米的点 处，已
知∠ = 90°，则树折断之前的高度是( )
A. 16 米 B. 10 米 C. 8 米 D. 6 米
9.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是 1， ， ， 三点都在格点上，若 是△ 的高，则
的长为( )
A. 2
B. 5
C. 3
D. 2 3
10.如图，在边长为 6 的正方形 中，点 为对角线 上一动点， ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，则 的
最小值为( )
A. 6 2
B. 3 2
C. 4
D. 3
11.如图，一圆柱体的底面圆周长为 20 ，高 为 6 ， 是上底面圆的直径，一只蚂蚁从点 出发，沿
着圆柱体的侧面爬行到点 ，则爬行的最短路程是( )
A. 2 35 B. 2 34
C. 2 31 D. 2 30
12.如图，在四边形 中，∠ = ∠ = 90°， = 10 ， = 8 ，点 从点 出发，以 1 / 的速度
向点 运动，点 从点 同时出发，以相同的速度向点 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停
止运动．设点 的运动时间为 (单位： )，下列结论正确的是( )
A.当 = 4 时，四边形 为矩形
B.当 = 5 时，四边形 为平行四边形
C.当 = 时， = 4
D.当 = 时， = 4 或 6
二、填空题：本题共 4小题，每小题 2分，共 8分。
13.若关于 的一元二次方程( + 1) 2 2 + 1 = 0 有两个不相等的实数根，则
的取值范围是______．
14.如图，在 中， ⊥ 于点 .若∠ = 25°，则∠ 的度数为______．
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15.定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.现有如图所示的“垂
美”四边形 ，对角线 ， 相交于点 ，若 = 5， = 6，则 2 +
2 = ．
16.将矩形 如图折叠，使点 落在 边上的点 处，已知 = 8， = 10，则
折痕 的长为______．
三、解答题：本题共 9小题，共 76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 8 分)
计算：
(1)3 27 7 12 + 5 48；
(2)(2 3 + 5)(5 2 3) (2 10 + 1)2．
18.(本小题 8 分)
解方程：
(1) 2 6 7 = 0；
(2)(2 1)( + 3) = 4．
19.(本小题 8 分)
若 △ 的两边 ， 满足 3 + ( 4)2 = 0，求它的第三边 的长．
20.(本小题 8 分)
为增强同学们的防溺水意识，学校开展以“增强意识，防止溺水”为主题的安全知识竞赛，从全校学生中
随机抽取了男、女生各 40 名，并将数据进行整理分析，得到如下信息：
信息一：女生成绩扇形统计图和男生成绩频数分布直方图如图：
(数据分组为 组： < 70； 组：70 ≤ < 80； 组：80 ≤ < 90； 组：90 ≤ ≤ 100)
信息二：女生 组中全部 15 名学生的成绩为：
86，87，81，83，88，84，85，87，86，89，82，88，89，85，89．
信息三：男、女生两组数据的相关统计量如下表：(单位：分)
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平均数 中位数 众数 满分率
女生 85 25%
男生 85 88 98 15%
(1)扇形统计图中 组学生有______人，表格中 =______， =______；
(2)若成绩在 90 分以上(含 90 分)为优秀，请估计该校 1600 名学生此次知识竞赛中成绩优秀的人数．
21.(本小题 8 分)
如图，四边形 中， = = 2，∠ = 60°， = 2 5， = 4．
(1)求∠ 的度数．
(2)求四边形 的面积．
22.(本小题 8 分)
如图，在四边形 中， // ， = ， 平分∠ ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 ，若 = 5， = 8，求四边形 的周长．
23.(本小题 8 分)
如图，用一段 77 米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个 1 米的门，墙的最
大可用长度为 30 米．
(1)如果羊圈的总面积为 300 平方米，求边 的长；
(2)羊圈的总面积能为 500 平方米吗？若能，请求出边 的长；若不能，说明理由．
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24.(本小题 10 分)
如图，已知四边形 中， // ， = = 4， = = 10，∠ = 90°， 为 边上的一点，
= 7，动点 从点 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着边 向终点 运动，连接 ，设点 运动的时间为
秒．
(1)求 的长；
(2)若△ 为直角三角形，求 的值．
25.(本小题 10 分)
在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，过点 的直线分别交边 、 、 、 于点 、 、 、
1
【感知】如图①，若四边形 是正方形，且 ⊥ ，易知 △ = △ ，又因为 △ = 4 四边形 ，
1
所以 四边形 = 4 正方形 (不要求证明)；
1
【拓展】如图②，若四边形 是矩形，且 四边形 = 4 矩形 ，若 = ， = ， = ，求
的长(用含 、 、 的代数式表示)；
1
【探究】如图③，若四边形 是平行四边形，且 四边形 = 4 ，若 = 3， = 5， = 1，
则 =______．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. < 2 且 ≠ 1
14.65°
15.61
16.5 5
17.(1)原式= 9 3 14 3 + 20 3
= 15 3；
(2)原式= 25 12 (40 + 4 10 + 1)
= 13 41 4 10
= 28 4 10．
18.(1) 2 6 7 = 0，
( + 1)( 7) = 0，
∴ + 1 = 0 或 7 = 0，
∴ 1 = 1， 2 = 7；
(2)方程整理，得：2 2 + 5 7 = 0，
( 1)(2 + 7) = 0，
∴ 1 = 0 或 2 + 7 = 0，
∴ 1 = 1， 2 = 3.5．
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19.解：∵ △ 的两边 ， 满足 3 + ( 4)2 = 0，
3 = 0
由题意得： 4 = 0，
= 3
解得： = 4，
当 为直角边时： = 42 32 = 7，
当 为斜边时： = 42 + 32 = 5，
综上所述，它的第三边 的长为 5 或 7．
20.(1)样本中，女生 组的人数为 40 40 × 20% 15 40 × 40% = 1(人)，
将样本中 40 名女生的知识竞赛中成绩从小到大排列，处在第 20、第 21 位的两个数的平均数为
82+88
2 = 85(分)，即中位数 = 85；
由于满分率为 25%，有 40 × 25% = 10(人)，即满分出现的次数最多，共出现 10 次，因此众数是 100 分，
即 = 100，
故答案为：1，85，100；
(2)1600 × 40% = 640(人)，
答：该校 1600 名学生此次知识竞赛中成绩优秀的人数约为 640 人．
21.解：(1)连接 ，
∵ = = 2，∠ = 60°，
∴△ 是等边三角形，
∴ = 2，∠ = 60°，
∵ = 2 5， = 4，
则 2 + 2 = 22 + 42 = 20， 2 = (2 5)2 = 20，
∴ 2 + 2 = 2，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ = 150°；
(2) = 1 3 1△ + △ = 2 2 + 2 =
1
2 × 2 ×
3
2 × 2 +
1
2 × 2 × 4 = 4 + 3．
21.解：(1)连接 ，
∵ = = 2，∠ = 60°，
∴△ 是等边三角形，
∴ = 2，∠ = 60°，
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∵ = 2 5， = 4，
则 2 + 2 = 22 + 42 = 20， 2 = (2 5)2 = 20，
∴ 2 + 2 = 2，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ = 150°；
(2) = 1 3 1 1 3 1△ + △ = 2 2 + 2 = 2 × 2 × 2 × 2 + 2 × 2 × 4 = 4 + 3．
22.(1)证明：∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ = ，
∴四边形 是菱形；
(2)解：∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90°，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = = ，
∴ = 2 = 10，
∵ = 8，
∴ = 2 2 = 6，
∵四边形 是菱形，
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∴ = = = 5，
∴四边形 的周长= + + + = 26．
23.解：(1)设 的长为 米，
由题意可得： (77 + 3 4 ) = 300，
解得： 1 = 5， 2 = 15，
当 = 5 时，80 4 = 60 > 30，故 = 5 不合题意，
当 = 15 时，80 4 = 20 < 30，
∴ 的长是 15 米；
(2)羊圈的总面积不能为 500 平方米，理由如下：
设 的长为 米，
由题意可得 (77 + 3 4 ) = 500，
∴ 2 20 + 125 = 0，
∴ = 400 500 = 100 < 0，
∴羊圈的总面积不能为 500 平方米．
24.解：(1) ∵ = 10， = 7，
∴ = 10 7 = 3，
在 △ 中， = 2 + 2 = 5；
(2)当∠ = 90°时， = 10 3 = 7，
则 = 7 ÷ 1 = 7(秒)，
当∠ = 90°时， 2 + 2 = 2，即52 + 42 + (7 )2 = (10 )2，
解得， = 53，
∴ 5当 = 7 或3时，△ 为直角三角形．
25.【拓展】如图②，过 作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，
∵ 1△ = 4 矩形 ，
1四边形 = 4 矩形 ，
∴ △ = 四边形 ，
∵ 1 1 1 1△ = 2 = 2 2 = 4 ，
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1 1 1 1△ = 2 = 2 2 = 4 ，
∴ 1 = 14 4 ，
∴ = ；
5
【探究】3
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