2024-2025学年山东省泰安六中九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. |-2025|和-2025 B. 2025和 C. |-2025|和2025 D. -2025和
2.已知一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是（ ）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
3.为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops,则m的值为（ ）
A. 8×1016 B. 2×1017 C. 5×1017 D. 2×1018
4.某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示.该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.下列计算正确的是（ ）
A. 4x3-3x2=x B. （x+4）（x-4）=x2-4
C. 3x3 2x5=5x8 D. （x2y）2=x4y2
6.如图，直线a∥b,矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2=41°，则∠1的度数为（ ）
A. 41°
B. 51°
C. 49°
D. 59°
7.《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱.三年共得100钱.问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ）
A. ++=1 B. ++=100 C. 3x+4x+5x=1 D. 3x+4x+5x=100
8.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法.为了了解关于x的不等式-x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y=-x+2与y=mx+n（m,n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点D，画射线BD，连接AC.若∠CAB=50°，则∠CBD的度数是（ ）
A. 30° B. 25° C. 20° D. 15°
10.在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），若满足x1+x2=y1+y2，我们称点P和点Q互为等和点.下列结论：
①若点P坐标为（1，3），则点P的等和点Q在直线y=x-2上；
②若点P、Q分别在函数y=x2-x、y=x+1的图象上，点P和Q互为等和点，则点P的坐标为（1，0）；
③若点P坐标为（-3，2），则无论a取何值，直线y=ax-3a+1上有且只有一个点是点P的等和点；
④若点P坐标为（n,0），则二次函数y=-x2-nx+1的图象上总存在点P的等和点.其中，正确结论的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知y2-my+1是完全平方式，则m的值是______.
12.如图，A是某公园的进口，B，C，D，E，F是不同的出口，若小华从A处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为 .
13.若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm.
14.若反比例函数y1=，y2=-，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a,函数y2的最大值是b,则ab= ______.
15.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是BC上的一点，连结AD，将△ABD沿AD折叠，点B落在点E处，DE交AC于点F，若AD=CD，则= ______.
16.如图，正方形ABCD的边长为6，以点C为圆心，2为半径作⊙C.P为⊙C上的动点，连接BP，并将BP绕点B逆时针旋转90°得到BP'，连接CP'.在点P运动的过程中，CP的最大值是______.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
（1）计算：；
（2）先化简，再从1，2，-3中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
18.(本小题8分)
某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成两幅不完整的统计图.
请根据统计图中的信息解答以下问题：
（1）本次抽取的学生共有______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整；
（2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是______分，中位数是______分，平均数是______分；
（3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有多少人？
19.(本小题8分)
如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，山坡面是一块平地，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m,斜坡AB的坡比为2.4：1.
（1）求坡高BE；
（2）本学期初三学生开展数学学科“综合与实践”活动，主题：测量高度A小组选择测量教学楼高度，他们的做法是：在教学楼F处安置测倾器，测得此时B的仰角∠BFG=α和A的俯角∠AFG=β，然后借助已知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度（精确到0.1）（参考数据：sinα=0.4，cosα=0.9，tanα=0.5，sinβ=0.9，cosβ=0.3，tanβ=3）
20.(本小题8分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F.
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠CFB=，AB=8，求图中阴影部分的面积.
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，BC=8，点A、B在y轴的正半轴上，边BC与AD分别与反比例函数的图象相交于E、F两点.且点E的坐标为（2，m），点F的坐标为（m+3，1）.点P在反比例函数的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n.
（1）求k的值；
（2）连接PA、PB、PC、PD，当△PBC与△PAD的面积和为矩形ABCD面积的一半时，直接写出n的取值范围；
（3）连接PE、PC，当△PEC的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标.
22.(本小题8分)
综合与实践
【经典再现】
人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.（提示：取AB的中点H，连接HE.）
（1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是为了构造出______≌______，进而得到AE=EF.
【类比探究】
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，且，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交矩形外角的平分线CF于点F，求的值（用含n的式子表示）；
【综合应用】
（3）如图3，P为边CD上一点，连接AP，PF，在（2）的基础上，当，∠PAE=45°，PF=时，请直接写出BC的长.
23.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-x2+bx+c（b,c是常数）.
（1）当b=2，c=4时，
①该函数图象的顶点坐标是______；
②若0≤x≤3，则y的取值范围是______；
（2）当该函数的图象经过点（1，-3）时，设该二次函数图象的顶点坐标是（m,n），求n关于m的函数表达式
（3）若当x≤0时，y的最大值为3；当x＞0时，y的最大值为4.求二次函数的表达式.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】±2
12.【答案】
13.【答案】5
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】8； x-1，-4．
18.【答案】40，36，；
70，70，66.5；
280人．
19.【答案】解：（1）∵斜坡AB长26m,斜坡AB的坡比为2.4：1，
∴==，
设BE=12x m,AE=5x m,
∵在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，
∴（5x）2+（12x）2=262，解得x=2，
∴AE=10m,BE=24m；
（2）由（1）知，BE=24m,
设BG=x m,则EG=24-x（m），
∵，
∴FG=2x m,
∵FG⊥BE，BE⊥HD，FH⊥HD，
∴∠1=∠2=∠3=90°，
∴四边形FHEG为矩形，
∴FG=HE=2x m,FH=GE=24-x（m），FG∥HE，
∴∠β=∠4，AH=HE-AE=2x-10（m），
∴，
即，
解得：，
经检验，是该分式方程的解．
∴FH=24-7.71=16.29≈16.3（米），
故教学楼的高度为16.3米．
20.【答案】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，
∴∠EBC=∠DBC，∠E=∠BDC=90°，
∴∠OCB=∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠COF=∠E=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵sin∠CFB=，
∴∠CFB=45°，
∵∠COF=90°，
∴∠COF=CFO=45，
∴CF=OC==4，
∴∠CDO=90°，
∴∠OCD=∠COD=45°，
∴CD=OD=OC=2，
∴图中阴影部分的面积=扇形AOC的面积-△COD面积=-×2×2=2π-4．
21.【答案】解：（1）∵点E（2，m），点F（m+3，1）在反比例函数的图象上，
∴k=2m=（m+3）×1，
∴m=3，
∴E（2，3），F（6，1），
∴k=3×2=6；
（2）∵BC=8，E（2，3），F（6，1），
∴S矩形ABCD=8×（3-1）=16，
∵，
∴当点P在E，F之间的反比例函数图象上时满足条件，
∴2＜n＜6；
（3）∵E（2，3）、F（6，1），
∴AB=2，
∵BC=8，
∴S矩形ABCD=2×8=16，EC=6，
∴S△PEC=8，设边CE上高的为h,
∴，
∴，
点P在CE的下方时，时，x=18，
∴当时，x=18，
∴点P的坐标为，
点P在CE的上方时，时，x=18，
∴当时，，
∴点P的坐标为．
22.【答案】解：（1 )△AHE≌△ECF；
（2）如图2，
在AB上截取BH=CE，连接EH，
∵E时BC的中点，
∴BE=CE，
不妨设BH=BE=CE=1，则BC=2，
∵，
∴AB=2n,
∴AH=2n-1
由（1）得：∠BAE=∠CEF，∠AHE=ECF=135°，
∴△AHE∽△ECF，
∴；
（3）如图3，
∵，
∴可设AB=6x,BC=4x,则BE=CE=2x,
延长EF，AP，交于点R，作RH⊥AD，交AD延长线于H，交BC的延长线与G，作FT⊥CD于T，
∵∠AEF=90°，∠PQE=45°，
∴△AER是等腰直角三角形，
∴AE=ER，
由（1）知：∠BAE=∠CEF，
∵∠B=∠G=90°，
∴△ABE≌△EGR（AAS），
∴EG=AB=6x,GR=BE=2x,
∴DH=CG=EG-EC=6x-2x=4x,
HR=GH-GR=6x-2x=4x,
∵CD∥GH，
∴△APD∽△ARH，
∴，
∴PD=，
∴CP=CD-PD=6x-2x=4x,
由（2）知：，
∴，
∴CF=x,
∴CT=FT=x,
∴PT=CP-CT=3x,
由PT2+FT2=PF2得，
（3x）2+x2=（2，
∴x1=，x2=-（舍去），
∴BC=4x=2．
23.【答案】（1，5），1≤y≤5；
n=m2-2m-2；
y=-x2+2x+3．
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