4.3 用一元一次方程解决问题
第1课时 列方程解应用题的一般步骤
1. (新考向·数学文化)(2024·广西)《九章算术》是我国古代重要的数学著作,其中记载了一个问题,大致意思如下:现有田出租,第一年3亩1钱,第二年4亩1钱,第三年5亩1钱.三年共得100钱.问:出租的田有多少亩 设出租的田有x亩,则可列方程为 ( )
A. ++=1 B. ++=100
C. 3x+4x+5x=1 D. 3x+4x+5x=100
2. (新情境·游戏活动)编写如下数学谜题:3×2+5=2,“”内要求填写同一个数字.若设“”内的数字为x,则可列方程为 ( )
A. 3×2x+5=2x B. 3×20x+5=10x×2
C. 3×20+x+5=20x D. 3×(20+x)+5=10x+2
3. 在某篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队14场比赛得到23分.若设该队胜x场,则可列方程为 .
4. (2023·丽水)我国古代的数学专著《九章算术》中有一题:今有生丝三十斤,干之,耗三斤十二两.今有干丝一十二斤,问:生丝几何 意思是:今有生丝30斤,干燥后耗损3斤12两(古代中国1斤等于16两).今有干丝12斤,问:原有生丝多少 原有生丝 斤.
5. (2024·吉林)钢琴素有“乐器之王”的美称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个,白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.
6. (新情境·现实生活)中秋节时,阿柚制作的广式月饼、蛋黄酥、凤梨酥的数量比为2∶1∶3,其中只有制作广式月饼和蛋黄酥时使用咸蛋黄.若阿柚每制作1个广式月饼使用2颗咸蛋黄,每制作1个蛋黄酥使用1颗咸蛋黄,且总共使用120颗咸蛋黄,则他制作了多少个凤梨酥
7. 今年爷爷的年龄是孙子的5倍,12年后,爷爷的年龄是孙子的3倍,则今年孙子的年龄是 ( )
A. 11岁 B. 12岁 C. 13岁 D. 14岁
8. 某城际铁路途经许多隧道和桥梁,其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km,隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度长36km,则隧道累计长度为 km,桥梁累计长度为 km.
9. 一个两位数,个位上的数字比十位上的数字的2倍多1,将个位上、十位上的数字交换位置,得到一个新两位数.若新两位数比原两位数的2倍少1,则原两位数为 .
10. (2023·安徽)根据经营情况,公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整:甲地上涨10%,乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元,调整后甲地比乙地少1元,求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
11. 某商场用14500元购进甲、乙两种饮用水共500箱,饮用水的成本价与销售价如下表:
类 别 成本价/(元/箱) 销售价/(元/箱)
甲 25 35
乙 35 48
(1) 购进甲、乙两种饮用水各多少箱
(2) 该商场售完这500箱饮用水后,可获利多少元
12. (新情境·科技民生)(2024·济南)近年来,光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建A,B两种光伏车棚.已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元,修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元.求修建A,B两种光伏车棚每个分别需投资多少万元
第2课时 用线形示意图分析问题
1.
超市店庆促销,某种保温杯的原价为每个x元,第一次降价打7折,第二次降价每个又减10元.经两次降价后售价为每个90元,则可列方程为 ( )
A. 0.7x-10=90 B. 0.07x-10=90 C. 90-0.7x=10 D. x-0.7x-10=90
2. (2024·宜宾)元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中,记载了这样一道题:良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问:良马几何日追及之 其大意是:快马每天行240里,慢马每天行150里,慢马先行12天,问:快马几天可追上慢马 快马追上慢马的天数是 ( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
3. (新考向·数学文化)(2025·相城区期末)明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题:有一群人分银子,若每人分七两,则剩余四两,若每人分九两,则还差半斤(注:明代时1斤=16两,故有“半斤八两”这个成语).设有x人分银子,则可列方程为 .
4. 一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时,按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额,与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相同,求这种服装每件的标价.
5. 某高铁开通后,A站到B站的运行时间由原来的3.5h缩短至1h,运行里程缩短了40km.已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度快200km/h,求高铁的平均速度.
6. (新考向·传统文化)(2023·成都)《孙子算经》中记载了这样一道题目:今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何 其大意是:现有一根木头,不知道其长短.用一根绳子去度量该木头,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再度量该木头,木头还剩余1尺.问:木头长多少尺 设木头长x尺,则可列方程为 ( )
A. (x+4.5)=x-1 B. (x+4.5)=x+1
C. (x-4.5)=x+1 D. (x-4.5)=x-1
7. 元旦期间,某商店单价为130元的书包按9折出售可获利30%,则该书包的进价是 元.
8. 甲、乙两地间的火车提速后,速度比原来提高了45km/h,结果两地之间的行车时间由原来的6h缩短了2h,则火车原来的速度是 km/h.
9. (新情境·现实生活)由于换季,商场准备对某商品打折出售,若按原售价的7.5折出售,将亏损25元,而按原售价的9折出售,将盈利20元,则该商品的原售价为 元.
10. 在一段双轨铁道上,两辆列车迎头驶过,A列车的车速为20m/s,B列车的车速为25m/s.若A列车全长200m,B列车全长160m,则两辆列车交错的时间为 s.
11. (教材P124练习第1题变式)某种商品每件的进价为120元,标价为180元.为了拓展销路,商店准备打折销售.若使利润率为20%,则商店应打几折
12. 某行军纵队以7km/h的速度行进,队尾的通讯员以11km/h的速度赶到队伍前送一封信,送到后又立即以原来的速度返回队尾,共用时13.2min.求这支队伍的长度.
13. (2024·深圳改编)某数学兴趣小组研究这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中.一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是如果每间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每间客房住9人,那么就空出一间客房.
(1) 该店有客房多少间 房客有多少人
(2) 假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性订客房18间及以上,房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,则他们如何订客房更合算
第3课时 与图形相关的方程问题
1.
小丽在2月的月历上圈出5个数,呈“十字框”形,它们的和是55,则中间的数是 ( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
2. 如图,根据图中的信息,可列出正确的方程是 ( )
A. π×x=π××(x-5) B. π×x=π××(x+5)
C. π×82x=π×62×(x+5) D. π×82x=π×62×5
3. (2023·金华)如图所示为一块长方形菜地ABCD,AB=5m,AD=bm,面积为sm2.现将边AB增加1m,边AD减少1m,得到的长方形菜地的面积不变,则b的值是 .
4. (新考向·传统文化)(2024·攀枝花)幻方,我国古代称为“河图”“洛书”,又叫“纵横图”.在如图所示的幻方中,每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等,则a的值为 .
5. (新情境·现实生活)(2024·江西)如图,书架宽84cm,在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书,已知每本数学书厚0.8cm,每本语文书厚1.2cm.
(1) 数学书和语文书共90本恰好摆满该书架,求书架上数学书和语文书各有多少本;
(2) 如果书架上已摆放10本语文书,那么数学书最多还可以摆 本.
第5题
6. (新情境·游戏活动)如图所示为由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字,其中,第1个“山”字需要7枚棋子,第2个“山”字需要12枚棋子,第3个“山”字需要17枚棋子,…,按照此规律,52枚棋子可以摆成 ( )
A. 第8个“山” B. 第9个“山” C. 第10个“山” D. 第11个“山”
7. 如图所示的两台天平保持平衡.已知每块巧克力的质量相等,且每个果冻的质量也相等,则每个果冻的质量为 ( )
A. 40g B. 35g C. 30g D. 20g
8. (分类讨论思想)(2024·威海)如图,在数轴上,动点A从表示-3的点出发,以1个单位长度/秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时,动点B从表示12的点出发,以2个单位长度/秒的速度沿着数轴的负方向运动.经过 秒,点A,B之间的距离等于3个单位长度.
9. (新考向·数学文化)如果一个长方形内部能用一些正方形铺满,既不重叠,又无缝隙,那么就称它为“优美长方形”.如图,“优美长方形”ABCD的周长为26,试求出正方形d的边长.
第9题
第10题
10. (新情境·现实生活)(2023·娄底)如图,若干名同学参加课后社团——舞蹈活动,一次排练中,先到的n名同学均匀排成一个以点O为圆心,r为半径的圆圈(每名同学对应圆周上一个点),又来了两名同学,先到的同学都沿各自所在半径往后移a米,再左右调整位置,使这(n+2)名同学之间的距离与原来n名同学之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等.这(n+2)名同学排成圆圈后,又有一名同学要加入队伍,重复前面的操作,则每人须往后移 米(请用含a的代数式表示),才能使得这(n+3)名同学之间的距离与原来n名同学之间的距离相等.
第4课时 列表分析问题
1.
一项工程,甲单独做需要20天完成,乙单独做需要12天完成,现由甲先做2天,乙再加入一起做.设完成这项工程共需x天,则根据题意,可列方程为 ( )
A. +=1 B. +=1
C. +=1 D. ++=1
2. 有一个水池,只打开进水管,2h可把空水池注满;只打开出水管,3h可把满池水放空.若两管同时打开,则把空水池灌注到水池的所需要的时间是 ( )
A. 6h B. 5h C. 4h D. 3h
3. 棋盘旁有甲、乙两个围棋盒.甲盒中都是黑子,共10枚;乙盒中都是白子,共8枚.嘉嘉从甲盒拿出a枚黑子放入乙盒,使乙盒中棋子的总数是甲盒中所剩棋子总数的2倍,则a的值为 .
4. 某工程队共有55人,每人每天平均可挖土2.5m3或运土3m3,为了合理分配劳动力,使挖出的土及时运走,应分配挖土和运土的人数分别为 , .
5. 某校七年级(1)班举行了一次安全知识竞赛,竞赛题一共20道,记分规则如下:每答对一道题得5分,每答错或不答一道题扣1分.若小红一共得70分,则小红答对 道题.
6. (新情境·现实生活)(2024·陕西)星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需4h;若爸爸单独完成,需2h.当天,小峰先单独打扫了一段时间,然后去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了3h,求这次小峰打扫了多长时间.
7. (新考向·传统文化)“曹冲称象”是流传很广的故事,具体方法:先将象牵到大船上,并在船侧面标记水位,再将象牵出,然后往船上抬入20块等重的条形石,并在船上留3个搬运工,这时水位恰好到达标记位置.若再抬入1块同样的条形石,船上只留1个搬运工,则水位也恰好到达标记位置.已知搬运工的体重均为60千克,设每块条形石的质量是x千克,则下列说法正确的是 ( )
A. 依题意,得3×60=x-60 B. 依题意,得20x+3×60=(20+1)x+60
C. 该象的质量是2520千克 D. 每块条形石的质量是130千克
8. 某项工作,甲单独做要a天完成,乙单独做要b天完成.现在甲单独做2天后,剩下的工作由乙单独做,则乙单独完成剩下的工作所需的天数是 ( )
A. a-2 B. b- C. D. b
9. 批阅一批试卷,由1人批阅需20天才能完成.现由3人先批阅2天,若剩下的试卷正好2天批阅完毕,则应增加 人(假设每人的工作效率相同).
10. 一水池有甲、乙两个进水管,单开甲进水管需20小时可注满水池,两个进水管齐开只需12小时便可注满水池,那么单开乙进水管需 小时可注满水池.
11. (新情境·科技民生)食堂有煤若干,原来每天烧3吨煤,烧去15吨后,改进设备,耗煤量为原来的一半,结果多烧了10天.求原存煤量.
12. 下表为A市居民每月的用水收费标准:
用水量/立方米 x≤22 超过部分
单价/元 a a+1.1
(1) 某用户某月用水10立方米,共缴水费23元,求a的值;
(2) 在(1)的前提下,若该用户五月份缴水费71元,则该用户五月份用水多少立方米
13. (新情境·现实生活)某服装厂要生产一批某种型号的学生服装.已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条,1件上衣和1条裤子为一套,计划用600米长的这种布料生产,应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套 共能生产多少套
4.3 用一元一次方程解决问题
第1课时 列方程解应用题的一般步骤
1. B 2. D 3. 2x+1×(14-x)=23
4. 解析:设原有生丝x斤.根据题意,得x∶12=30∶30-3.解这个方程,得x=.因此原有生丝斤.
5. 设黑色琴键的个数为x,则白色琴键的个数为x+16.根据题意,得x+16+x=88.解这个方程,得x=36.此时x+16=52.答:白色琴键有52个,黑色琴键有36个
6. 设阿柚制作了x个蛋黄酥,则制作了2x个广式月饼,3x个凤梨酥.根据题意,得2×2x+x=120.解这个方程,得x=24,此时3x=72.答:他制作了72个凤梨酥
7. B
8. 126 216 解析:设隧道累计长度为xkm,则桥梁累计长度为(342-x)km.根据题意,得2x=(342-x)+36.解这个方程,得x=126,此时342-x=216.所以隧道累计长度为126km,桥梁累计长度为216km.
9. 37 解析:设原两位数的十位上的数字为x,则个位上的数字为2x+1.所以原两位数为10x+2x+1,新两位数为10(2x+1)+x.根据题意,得10(2x+1)+x=2(10x+2x+1)-1.解这个方程,得x=3.所以原两位数为10x+2x+1=37.
10. 设调整前乙地该商品的销售单价为x元,则调整前甲地该商品的销售单价为(x-10)元.根据题意,得(1+10%)(x-10)=(x-5)-1.解这个方程,得x=50,此时x-10=40.答:调整前甲地该商品的销售单价为40元,乙地该商品的销售单价为50元
11. (1) 设购进甲种饮用水x箱,则购进乙种饮用水(500-x)箱.根据题意,得25x+35(500-x)=14 500.解这个方程,得x=300,此时500-x=200.答:购进甲种饮用水300箱,购进乙种饮用水200箱 (2) (35-25)×300+(48-35)×200=5 600(元).答:该商场售完这500箱饮用水后,可获利5 600元
12. 设修建A种光伏车棚每个需投资x万元,则修建B种光伏车棚每个需投资(8-2x)万元.根据题意,得5x+3(8-2x)=21,解得x=3,此时8-2x=2.答:修建A种光伏车棚每个需投资3万元,修建B种光伏车棚每个需投资2万元
第2课时 用线形示意图分析问题
1. A 2. D 3. 7x+4=9x-8
4. 设这种服装每件的标价为x元.根据题意,得10×80%x=11(x-30).解这个方程,得x=110.答:这种服装每件的标价为110元
5. 设高铁的平均速度为xkm/h,则普通列车的平均速度为(x-200)km/h.根据题意,得3.5(x-200)-1×x=40.解这个方程,得x=296.答:高铁的平均速度为296km/h
6. A
7. 90 解析:设该书包的进价是x元.根据题意,得130×90%-x=30%x.解这个方程,得x=90.所以该书包的进价是90元.
8. 90 9. 300 10. 8
11. 设商店打x折后商品的利润率为20%.根据题意,得180×-120=120×20%.解这个方程,得x=8.答:若使利润率为20%,则商店应打8折
12. 设这支队伍的长度为xkm.根据题意,得+=.解这个方程,得x=0.72.答:这支队伍的长度为0.72km
13. (1) 设该店有客房x间,则房客有(7x+7)人.根据题意,得9(x-1)=7x+7.解这个方程,得x=8,此时7x+7=63.答:该店有客房8间,房客有63人 (2) 若按实际房客人数订客房,每间客房住4人,则63人至少需订客房16间,需付费20×16=320(钱);若一次性订客房18间,则需付费20×18×0.8=288(钱).因为288<320,所以若诗中“众客”再次一起入住,则他们选择一次性订客房18间更合算
第3课时 与图形相关的方程问题
1. C 2. B
3. 6 解析:因为边AB增加1m,边AD减少1m,得到的长方形菜地的面积不变,所以5b=(5+1)×(b-1),解得b=6.
4. 3
5. (1) 设书架上数学书有x本,则语文书有(90-x)本.根据题意,得0.8x+1.2(90-x)=84.解这个方程,得x=60,此时90-x=30.答:书架上数学书有60本,语文书有30本 (2) 90
6. C 解析:第n个“山”字需要(5n+2)枚棋子.由5n+2=52,得n=10.
7. C 解析:设每个果冻的质量为xg,则每块巧克力的质量为(50-x)g.根据题意,得2x=3(50-x).解这个方程,得x=30.因此,每个果冻的质量为30g.
8. 4或6 解析:设经过x秒,点A,B之间的距离等于3个单位长度.根据题意,得|(-3+x)-(12-2x)|=3,解得x=4或6.
9. 设正方形b的边长为x,则正方形a的边长为2x,正方形c的边长为3x,正方形d的边长为5x.根据题意,得2(3x+5x+5x)=26.解这个方程,得x=1,此时5x=5×1=5.答:正方形d的边长为5
10. 解析:原来n名同学之间的距离为,(n+2)名同学之间的距离为.根据题意,得=.整理,得2r=na,即=.设又有一名同学要加入队伍时,每人须向后移x米,这(n+3)名同学之间的距离为.根据题意,得=.整理,得x=-a.将=代入,得x=-a=3×-a=.
第4课时 列表分析问题
1. C 2. B 3. 4 4. 30 25 5. 15
6. 设这次小峰打扫了xh,则爸爸打扫了(3-x)h.根据题意,得+=1,解得x=2.答:这次小峰打扫了2h
7. B 8. D
9. 4 解析:设增加x人.根据题意,得3×2+2(3+x)=20,解得x=4.所以应增加4人.
10. 30
11. 设原存煤量为x吨.根据题意,得+=+10.解这个方程,得x=45.答:原存煤量为45吨
12. (1) 根据题意,得10a=23.解这个方程,得a=2.3.所以a的值为2.3 (2) 设该用户五月份用水x立方米.因为当用水22立方米时,水费为22×2.3=50.6(元),50.6<71,所以x>22.根据题意,得22×2.3+(x-22)×(2.3+1.1)=71.解这个方程,得x=28.答:该用户五月份用水28立方米
13. 设用x米长的布料生产上衣,则用(600-x)米长的布料生产裤子.根据题意,得x∶(600-x)=3∶2,即2x=3(600-x).解这个方程,得x=360,此时600-x=240,360÷3×2=240(套).答:用360米长的布料生产上衣,240米长的布料生产裤子才能恰好配套,共能生产240套
