2024-2025学年山西省太原三十八中八年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a＜b,则下列不等式一定成立的是（ ）
A. a+5＜b+5 B. 2a＞2b C. D. -2a＜-2b
2.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定RtABD和Rt CDB全等，则需要添加的条件是（ ）
A. ∠B=∠D B. ∠ACB=∠CAD C. AB=CD D. AD=CB
3.如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）
A. 三个角的角平分线的交点
B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三角形三条高的交点
D. 三角形三条中线的交点
4.如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E．若EC=3，则DC的长为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6.
如图，∠ABC=90°，∠C=15°，线段AC的垂直平分线DE交AC于D，交BC于E，D为垂足，CE=10 cm，则AB=（ ）
A. 4 cm
B. 5 cm
C. 6 cm
D. 不能确定
7.如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=4，则点P到AD与BC的距离之和为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
8.用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（ ）
A. 三角形中有一个内角小于或等于60° B. 三角形中有两个内角小于或等于60°
C. 三角形中有三个内角小于或等于60° D. 三角形中没有一个内角小于或等于60°
9.如图，已知：函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点P(-2，-5)，则根据图象可得不等式3x+b＞ax-3的解集是（ ）
A. x＞-5
B. x＞-2
C. x＞-3
D. x＜-2
10.如图，在第一个△A1BC中，∠B=40°，A1B=BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…，依此类推，可得到第n个等腰三角形，则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为（ ）
A. （）n×40° B. （）n-1×40° C. （）n-1×70° D. （）n×70°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.不等式2x+3＞0的解集为______.
12.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE=______．
13.如图是一次函数的y=kx+b图象，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为______.
14.某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元，店庆期间商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但要保证利润率不低于20%，则最多可打______折.
15.如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AB上一点，联结CD，BD=5，DC=12，BC=13，则AB= .
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解不等式：
（1）5x+10＞3x-2；
（2）.
17.(本小题8分)
（1）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来.
（2）解不等式组：，把解集表示在数轴上.
18.(本小题8分)
下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程.
已知：△ABC.
求作：△ABC中BC边上的高线AD.
作法：如图1，①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；②连接AE交BC于点D.
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线.
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∵______=BA，______=CA，
∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（______）（填推理依据）.
∴BC垂直平分线段AE.
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线.
（3）如图2已知：△ABC.
求作：△ABC中BC边上的高线AD.
19.(本小题8分)
如图，已知点D、E为△ABC的边BC上两点，AD=AE，BD=CE，判断∠B与∠C的大小关系，并给出证明.
20.(本小题8分)
某商场开展促销活动，出售甲、乙两种商品，活动方案有如下两种：
甲商品 乙商品
售价（单位：元） 100 20
促销方案 买一件甲商品，赠送一件乙商品
促销方案二 甲商品和乙商品都打九折
（备注：参加方案一，则不能参加方案二；参加方案二，则不能参加方案一）
（Ⅰ）若某单位购买甲商品x件，购买乙商品的件数比甲商品多20件，选择购买方案时，促销方案一所需费用为y1元，促销方案二所需费用为y2元，请直接写出y1，y2与x之间的关系式.
（Ⅱ）请根据购买甲商品的件数x的不同范围，求出选择哪种促销方案更合适.
21.(本小题8分)
CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE______CF；EF______|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件______，使①中的两个结论仍然成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并给出理由．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】x＞-
12.【答案】10°
13.【答案】x＞-2
14.【答案】八
15.【答案】16.9
16.【答案】解：（1）5x+10＞3x-2，
5x-3x＞-2-10，
2x＞-12，
x＞-6；
（2）
2（x-2）≥3（x+1）-12，
2x-4≥3x+3-12，
2x-3x≥4+3-12，
-x≥-5，
x≤5．
17.【答案】-3≤x≤1，数轴见解析；
-2＜x≤1，数轴见解析．
18.【答案】见解析；
BE，CE，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
见解析．
19.【答案】∠B=∠C，证明见解答过程．
20.【答案】y1=100x+400，y2=108x+360；
当x＞5时，选择促销方案一更合适；当x=5时，两种促销方案费用相等；当x＜5时，选择促销方案二更合适．
21.【答案】（1）①= ， = ；
②∠α+∠ACB=180° ；
（2）结论：EF=BE+AF．
理由：如图3中，
∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，
∴∠EBC=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，
，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴AF=CE，BE=CF，
∵EF=CE+CF，
∴EF=BE+AF．
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