广东省汕头市潮南区陈店公校联考2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024九上·潮南期中）下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·潮南期中）抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．（2024九上·潮南期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2024九上·潮南期中）已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．（2024九上·潮南期中）如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·潮南期中）二次函数的部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·潮南期中）如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·潮南期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·潮南期中）已知m，n是方程的两个根.记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2024九上·潮南期中）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．（2024九上·潮南期中）点是抛物线上的一点，则 ；
12．（2024九上·潮南期中）一个矩形的两邻边长分别是方程的的两根，则矩形的面积等于 ；
13．（2024九上·潮南期中）若，是方程的两个实数根，则的值为 ；
14．（2024九上·潮南期中）如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为 ．
15．（2024九上·潮南期中）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点的坐标为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2024九上·潮南期中）已知．
（1）化简A；
（2）若点是抛物线上的一点，求A的值．
17．（2024九上·潮南期中）如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数．
18．（2024九上·潮南期中）已知实数x，y满足，若，求t的最大值．
四、解答题（二） （本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（2024九上·潮南期中）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上．
（1）画出关于原点对称的；
（2）画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标；
（3）若点为轴上一点，则的最小值为____________．
20．（2024九上·潮南期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根满足，求k的值．
21．（2024九上·潮南期中）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率．
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
五、解答题（三） （本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2024九上·潮南期中）如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：
（2）若．求四边形的面积．
23．（2024九上·潮南期中）如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是中心对称图形，故C符合题意；
D、不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；逐一判断即可解答．
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数顶点式，顶点坐标为：，对称轴为：直线，
∴抛物线中，对称轴为：直线．
故答案为：B．
【分析】
由二次函数顶点式中顶点坐标为：，对称轴为：，进行解答即可．
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，解得，
∴选项D中的5不符合题意，
故答案为：D．
【分析】
根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此求得c的取值范围，再进行判断即可解答．
4．【答案】C
【知识点】解二元一次方程组；关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】
根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是， 求解即可解答．
5．【答案】D
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，记垂足为，
∵将绕点C顺时针方向旋转得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角得到：，，再结合垂直的定义与三角形的内角和定理，计算即可解答．
6．【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
方程的根为，
即方程的另一个根为：．
故答案为：A．
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，从而可确定方程的另一个根．
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
根据题意得：．
故答案为：A．
【分析】
设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，解答即可．
8．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每天遗忘的百分比为，
则，
解得：．
故答案为：C．
【分析】
设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程，计算即可解答．
9．【答案】B
【知识点】分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；用代数式表示数值变化规律；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m，n是方程的两个根，
∴，
∴，
，
…..
，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，，
∵t为正整数，
∴，
故答案为：B．
【分析】
由一元二次方程根与系数关系得，再计算得，，…，，从而得到，由题意得，求解即可解答．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：②、∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确；
①、抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
③、∵当时，取得小值，
∴，
当m为任意实数，则，故③正确，
④、∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴，故④正确；
⑤、当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故答案为：C．
【分析】
根据开口方向得，根据对称轴可得，与轴的交点位置交于负半轴，则，可判断 ①② ；利用最值当时，取得小值可判断③；根据对称性和图象上的点，可判断④；利用对称性可判断⑤；逐一判断即可解答．
11．【答案】
【知识点】点的坐标；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：把代入得：，
故答案为：．
【分析】
根据二次函数图象上点的坐标特点，利用待定系数法把代入可得的值，解答即可.
12．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵，
∴或，
解得：，
∴矩形相邻的两边分别为：2和3，
∴矩形的面积为：；
故答案为：6．
【分析】
根据一元二次方程的解法：由方程得到两个一次方程解得，结合矩形面积公式计算，即可解答．
13．【答案】2022
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵若，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
由，为方程的根，得，根据一元二次方程中根与系数的关系得到，则，根据，即可解答．
14．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；求代数式的值-整体代入求值；数形结合
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点，
∴，
∵顶点在直线上，
∴，即，
∴，即，
∴
故答案为： ．
【分析】
把点代入抛物线解析式能使左右两边相等即可得到，根据抛物线的顶点横坐标为，据此列式即可求解．
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：，
每旋转八次，点的坐标重复出现．
4，
第100秒旋转结束时点的位置，与第4秒旋转结束时点的位置相同．
连接和，
四边形是矩形，
和互相平分，
，，
，，
点的坐标为．
又，
第4秒旋转结束时的点与点关于坐标原点对称，
此时点的坐标为．
即第100秒旋转结束时，点的坐标为．
故答案为：．
【分析】
由所给旋转方式得出第100秒旋转结束时点的位置，与第4秒旋转结束时点的位置相同；再根据四边形是矩形，由对角线中点坐标公式建立方程，计算求出点坐标，由此解答即可．
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：∵点是抛物线上的一点，
∴
∴
∴
【知识点】分式的化简求值；点的坐标；二次函数图象上点的坐标特征；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】
（1）先计算括号内的加法，再计算除法即可解答；
（2）把点的坐标代入得到，则，整体代入（1）中结果即可解答．
17．【答案】解：是由旋转得到
，，
，
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据旋转性质可得，，，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
18．【答案】解：由得，．
由，
则
∵，
∴．
即当时，取得最大值，最大值为6．
【知识点】二次函数的最值；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】
用表示得到：，再用去表示，化简进行配方得到，再利用偶次方的非负性即可得到最值，解答即可．
19．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，．
（3）
【知识点】点的坐标；勾股定理；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
解：（3）作点关于轴的对称点'，连接，交轴于点，连接，
则的最小值为
故答案为：．
【分析】
（1）根据中心对称的性质作图即可解答．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则的最小值即为，由勾股定理计算即可解答．
（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，．
（3）作点关于轴的对称点'，连接，交轴于点，连接，
则的最小值为
故答案为：．
20．【答案】（1）解：根据题意得
解得；
（2）解：根据题意得：
∵，
，
即，
整理得，
解得
∵，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】
（1）由该方程有两个实数根得到，然后解不等式即可解答；
（2）根据根与系数的关系得到，再根据得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值，解答即可．
（1）解：根据题意得
解得；
（2）解：根据题意得：
∵，
，
即，
整理得，
解得
∵，
∴．
21．【答案】（1）解：设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x
∴，解得：，（不符合题意，舍去）
答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为
（2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件
∴
解得：，（不符合题意，舍去）
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列出方程：，解出x即可
（2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据等量关系：总利润=单件利润×件数，列出方程：，解出m即可.
22．【答案】（1）证明：如图1中，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
；
（2）解：如图2中，连接，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
是直角三角形，
．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和已知条件利用SAS证明，再根据全等三角形的性质解答即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据，计算即可解答．
23．【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标是A（﹣2，0）、B（4，0），
∴设该抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
将点C（0，﹣8）代入函数解析式代入，得a（0+2）（0﹣4）=﹣8，
解得a=1，
∴该抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣4）或y=x2﹣2x﹣8．
联立方程组：
解得（舍去）或，
即点D的坐标是（﹣1，﹣5）；
（2）如图所示：
过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）．
∴PE=x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）=﹣x2+3x+4．
∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE （xp﹣xD）+PE （xB﹣xE）=PE （xB﹣xD）=（﹣x2+3x+4）=﹣（x﹣）2+．
∴当x=时，△BDP的面积的最大值为．
∴P（，﹣）．
（3）（2，﹣2）或（3，﹣1）．
【知识点】点的坐标；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数-面积问题
【解析】【解答】
解：（3）设直线y=x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4）．
∵B（4，0），
∴OB=OK=4．
∴∠OKB=∠OBK=45°．
∵QF⊥x轴，
∴∠DQG=45°．
若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形．
①当∠QDG=90°时，过点D作DH⊥QG于H，
∴QG=2DH，QG=﹣x2+3x+4，DH=x+1，
∴﹣x2+3x+4=2（x+1），解得：x=﹣1（舍去）或x=2，
∴Q1（2，﹣2）．
②当∠DGQ=90°，则DH=QH．
∴﹣x2+3x+4=x+1，解得x=﹣1（舍去）或x=3，
∴Q2（3，﹣1）．
综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，﹣2）或（3，﹣1）．
故答案为：（2，﹣2）或（3，﹣1）.
【分析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），将点C的坐标代入可求得a的值，然后将y=x﹣4与抛物线的解析式联立方程组并求解即可解答；
（2）过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4），则PE═﹣x2+3x+4，然后依据S△BDP=S△DPE+S△BPE，列出△BDP的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可解答；
（3）设直线y=x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4），先证明△QDG为等腰直角三角形，然后根据∠QDG=90°和∠DGQ=90°两种情况求解即可解答．
广东省汕头市潮南区陈店公校联考2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024九上·潮南期中）下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是中心对称图形，故C符合题意；
D、不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；逐一判断即可解答．
2．（2024九上·潮南期中）抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数顶点式，顶点坐标为：，对称轴为：直线，
∴抛物线中，对称轴为：直线．
故答案为：B．
【分析】
由二次函数顶点式中顶点坐标为：，对称轴为：，进行解答即可．
3．（2024九上·潮南期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，解得，
∴选项D中的5不符合题意，
故答案为：D．
【分析】
根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此求得c的取值范围，再进行判断即可解答．
4．（2024九上·潮南期中）已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】解二元一次方程组；关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】
根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是， 求解即可解答．
5．（2024九上·潮南期中）如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，记垂足为，
∵将绕点C顺时针方向旋转得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角得到：，，再结合垂直的定义与三角形的内角和定理，计算即可解答．
6．（2024九上·潮南期中）二次函数的部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
方程的根为，
即方程的另一个根为：．
故答案为：A．
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，从而可确定方程的另一个根．
7．（2024九上·潮南期中）如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
根据题意得：．
故答案为：A．
【分析】
设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，解答即可．
8．（2024九上·潮南期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每天遗忘的百分比为，
则，
解得：．
故答案为：C．
【分析】
设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程，计算即可解答．
9．（2024九上·潮南期中）已知m，n是方程的两个根.记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；用代数式表示数值变化规律；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m，n是方程的两个根，
∴，
∴，
，
…..
，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，，
∵t为正整数，
∴，
故答案为：B．
【分析】
由一元二次方程根与系数关系得，再计算得，，…，，从而得到，由题意得，求解即可解答．
10．（2024九上·潮南期中）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：②、∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确；
①、抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
③、∵当时，取得小值，
∴，
当m为任意实数，则，故③正确，
④、∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴，故④正确；
⑤、当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故答案为：C．
【分析】
根据开口方向得，根据对称轴可得，与轴的交点位置交于负半轴，则，可判断 ①② ；利用最值当时，取得小值可判断③；根据对称性和图象上的点，可判断④；利用对称性可判断⑤；逐一判断即可解答．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．（2024九上·潮南期中）点是抛物线上的一点，则 ；
【答案】
【知识点】点的坐标；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：把代入得：，
故答案为：．
【分析】
根据二次函数图象上点的坐标特点，利用待定系数法把代入可得的值，解答即可.
12．（2024九上·潮南期中）一个矩形的两邻边长分别是方程的的两根，则矩形的面积等于 ；
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵，
∴或，
解得：，
∴矩形相邻的两边分别为：2和3，
∴矩形的面积为：；
故答案为：6．
【分析】
根据一元二次方程的解法：由方程得到两个一次方程解得，结合矩形面积公式计算，即可解答．
13．（2024九上·潮南期中）若，是方程的两个实数根，则的值为 ；
【答案】2022
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵若，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
由，为方程的根，得，根据一元二次方程中根与系数的关系得到，则，根据，即可解答．
14．（2024九上·潮南期中）如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；求代数式的值-整体代入求值；数形结合
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点，
∴，
∵顶点在直线上，
∴，即，
∴，即，
∴
故答案为： ．
【分析】
把点代入抛物线解析式能使左右两边相等即可得到，根据抛物线的顶点横坐标为，据此列式即可求解．
15．（2024九上·潮南期中）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：，
每旋转八次，点的坐标重复出现．
4，
第100秒旋转结束时点的位置，与第4秒旋转结束时点的位置相同．
连接和，
四边形是矩形，
和互相平分，
，，
，，
点的坐标为．
又，
第4秒旋转结束时的点与点关于坐标原点对称，
此时点的坐标为．
即第100秒旋转结束时，点的坐标为．
故答案为：．
【分析】
由所给旋转方式得出第100秒旋转结束时点的位置，与第4秒旋转结束时点的位置相同；再根据四边形是矩形，由对角线中点坐标公式建立方程，计算求出点坐标，由此解答即可．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2024九上·潮南期中）已知．
（1）化简A；
（2）若点是抛物线上的一点，求A的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：∵点是抛物线上的一点，
∴
∴
∴
【知识点】分式的化简求值；点的坐标；二次函数图象上点的坐标特征；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】
（1）先计算括号内的加法，再计算除法即可解答；
（2）把点的坐标代入得到，则，整体代入（1）中结果即可解答．
17．（2024九上·潮南期中）如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数．
【答案】解：是由旋转得到
，，
，
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据旋转性质可得，，，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
18．（2024九上·潮南期中）已知实数x，y满足，若，求t的最大值．
【答案】解：由得，．
由，
则
∵，
∴．
即当时，取得最大值，最大值为6．
【知识点】二次函数的最值；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】
用表示得到：，再用去表示，化简进行配方得到，再利用偶次方的非负性即可得到最值，解答即可．
四、解答题（二） （本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（2024九上·潮南期中）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上．
（1）画出关于原点对称的；
（2）画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标；
（3）若点为轴上一点，则的最小值为____________．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，．
（3）
【知识点】点的坐标；勾股定理；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
解：（3）作点关于轴的对称点'，连接，交轴于点，连接，
则的最小值为
故答案为：．
【分析】
（1）根据中心对称的性质作图即可解答．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则的最小值即为，由勾股定理计算即可解答．
（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，．
（3）作点关于轴的对称点'，连接，交轴于点，连接，
则的最小值为
故答案为：．
20．（2024九上·潮南期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根满足，求k的值．
【答案】（1）解：根据题意得
解得；
（2）解：根据题意得：
∵，
，
即，
整理得，
解得
∵，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】
（1）由该方程有两个实数根得到，然后解不等式即可解答；
（2）根据根与系数的关系得到，再根据得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值，解答即可．
（1）解：根据题意得
解得；
（2）解：根据题意得：
∵，
，
即，
整理得，
解得
∵，
∴．
21．（2024九上·潮南期中）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率．
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】（1）解：设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x
∴，解得：，（不符合题意，舍去）
答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为
（2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件
∴
解得：，（不符合题意，舍去）
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列出方程：，解出x即可
（2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据等量关系：总利润=单件利润×件数，列出方程：，解出m即可.
五、解答题（三） （本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2024九上·潮南期中）如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：
（2）若．求四边形的面积．
【答案】（1）证明：如图1中，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
；
（2）解：如图2中，连接，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
是直角三角形，
．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和已知条件利用SAS证明，再根据全等三角形的性质解答即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据，计算即可解答．
23．（2024九上·潮南期中）如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标是A（﹣2，0）、B（4，0），
∴设该抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
将点C（0，﹣8）代入函数解析式代入，得a（0+2）（0﹣4）=﹣8，
解得a=1，
∴该抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣4）或y=x2﹣2x﹣8．
联立方程组：
解得（舍去）或，
即点D的坐标是（﹣1，﹣5）；
（2）如图所示：
过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）．
∴PE=x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）=﹣x2+3x+4．
∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE （xp﹣xD）+PE （xB﹣xE）=PE （xB﹣xD）=（﹣x2+3x+4）=﹣（x﹣）2+．
∴当x=时，△BDP的面积的最大值为．
∴P（，﹣）．
（3）（2，﹣2）或（3，﹣1）．
【知识点】点的坐标；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数-面积问题
【解析】【解答】
解：（3）设直线y=x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4）．
∵B（4，0），
∴OB=OK=4．
∴∠OKB=∠OBK=45°．
∵QF⊥x轴，
∴∠DQG=45°．
若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形．
①当∠QDG=90°时，过点D作DH⊥QG于H，
∴QG=2DH，QG=﹣x2+3x+4，DH=x+1，
∴﹣x2+3x+4=2（x+1），解得：x=﹣1（舍去）或x=2，
∴Q1（2，﹣2）．
②当∠DGQ=90°，则DH=QH．
∴﹣x2+3x+4=x+1，解得x=﹣1（舍去）或x=3，
∴Q2（3，﹣1）．
综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，﹣2）或（3，﹣1）．
故答案为：（2，﹣2）或（3，﹣1）.
【分析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），将点C的坐标代入可求得a的值，然后将y=x﹣4与抛物线的解析式联立方程组并求解即可解答；
（2）过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4），则PE═﹣x2+3x+4，然后依据S△BDP=S△DPE+S△BPE，列出△BDP的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可解答；
（3）设直线y=x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4），先证明△QDG为等腰直角三角形，然后根据∠QDG=90°和∠DGQ=90°两种情况求解即可解答．
