广东省深圳市福田区西交利物浦大学基础教育集团外国语学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024九上·福田期中）如图所示的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·福田期中）如果2是方程的一个根，则常数的值为（ ）
A． B．4 C．2 D．
3．（2024九上·福田期中）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．8 B．12 C．0.4 D．0.6
4．（2024九上·福田期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）
5．（2024九上·福田期中）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．3
6．（2024九上·福田期中）如图，小聪在作线段的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，则直线即所求．根据他的作图方法，可知四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．任意四边形
7．（2024九上·福田期中）“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·福田期中）如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径为5尺，不知其深，立5尺长的木于井上，从木的末端E点观察井水水岸A处，测得“入径”为4寸，问井深是多少？（其中1尺寸）”根据译文信息，则井深为（ ）
A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2024九上·福田期中）已知，则的值为 ．
10．（2024九上·福田期中）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 .
11．（2024九上·福田期中）如图，三个气球分别被三根绳子系住，绳子一同穿过封闭的纸筒，另一端固定在木板上，无法判断绳子在纸筒中纠缠情况，随机解开木板上两根绳子，能取下气球C的概率是 ．
12．（2024九上·福田期中）如图，中，为上一点，，，，则 ．
13．（2024九上·福田期中）如图，已知，在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（）的图象与边交于点E，将沿对折后，C点恰好落在上的点D处，则k的值为 ．
三、解答题（共7小题，共61分）
14．（2024九上·福田期中）解方程： ；
15．（2024九上·福田期中）现有A，B两个不透明的袋子，分别装有3个小球（每个袋中的小球除颜色外，其他完全相同）．A袋装有1个白球，2个红球；B袋装有1个红球，2个白球．
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机摸出一个球，则摸出的小球是红球的概率为______；
（2）甲、乙两人玩摸球游戏，并设计了如下规则：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球．若甲、乙两人摸到的小球颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．这个游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由）
16．（2024九上·福田期中）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为；
（3）与的相似比是____．
17．（2024九上·福田期中）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销修，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件．
素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，该泥塑每月的销售量m（件）与每件售价n（元）之间符合一次函数关系．
问题解决
任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率；
任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？
18．（2024九上·福田期中）如图，在中，过A点作，交的平分线于点D，点E在上，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当，时，求的长．
19．（2024九上·福田期中）换一个角度初看
华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了．
（1）如图1，当时，的取值范围是_______．
换一个角度二看
我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长．
（2）请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____．
②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2024九上·福田期中）【定义】在内有一点，连接，，．在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心．
【应用】
（1）如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，点为内一点，请判断点是否为的相似心．若是，请直接写出相似的两个三角形；若不是，请说明理由．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点与点分别为轴负半轴，轴正半轴上的两个动点，连接，设的外角平分线，交于点，延长，分别交轴于点，交轴于点，连接．
①的度数是_____
②求证：点为的相似心．
（3）图3，在（2）的条件下，若点在反比例函数的图象上，，若点为的相似心，连接，直接写出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：图中几何体的主视图是，
故答案为：A．
【分析】利用从正面看几何体得到的图形解答．
2．【答案】B
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
∴；
故答案为：B．
【分析】
根据元二次方程的根的定义把代入方程进行求解即可解答．
3．【答案】B
【知识点】几何概率；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在阴影部分的概率为，
故阴影部分的面积为20×0.6=12.
∴黑色阴影的面积为约12，
故答案为：B．
【分析】利用频率估计概率的方法：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，故可以用频率的集中趋势来估计概率．
4．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9），
∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6×，9×），
即（﹣3，），
故答案为：A．
【分析】根据位似变换的性质“如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）”计算即可求解.
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，
∴，
的取值可以是3，
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系可得，再求出n的取值范围即可。
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法可知，
根据四条边都相等的四边形是菱形，
可知四边形一定是菱形．
故答案为：B．
【分析】
根据作法与菱形的判定可得四边都相等的四边形是菱形，由此解答即可．
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为，
故答案为：D．
【分析】设进馆人次的月增长率为，分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可解答．
8．【答案】D
【知识点】解分式方程；矩形的性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：5尺寸，
设尺．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验：是分式方程的解．
∴（寸）．
故答案为：D．
【分析】
设尺，根据矩形的性质得到，从而可得到，再根据相似三角形的性质得到， 构建方程计算即可解答.
9．【答案】
【知识点】分式的值；比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴设，，
，
故答案为：．
【分析】
设，，代入所求式子中求解即可解答.
10．【答案】10
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个相等的实数根，a=1，b=6，c=m-1，
∴，
则4（m-1）=36，
m-1=9，
解得：m=10；
故答案为：10.
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个实数根，则有，列方程，即可解出m的值.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：随机解开木板上两根绳子可能有三种等可能情形，
其中能取下气球的有两种，所以概率为．
故答案为：．
【分析】
根据解开木板上两根绳子可能有三种等可能情形，再确定其中能取下气球的有两种，最后根据概率公式计算即可解答．
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得：或（舍去）
故答案为：.
【分析】结合公共角∠A，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证△ADC∽△ACB，由相似三角形对应边成比例得，从而代入数据可求AC的长．
13．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；勾股定理；矩形的判定；翻折变换（折叠问题）；求余弦值
【解析】【解答】解：过点E作于点G，
∵，
∴设，，
∵矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
根据折叠性质，；，
，
∴，
∴，
∴，
根据反比例函数的性质，得，
解得，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】
过点E作于点G，根据，设，，根据折叠性质，；，利用勾股定理，三角函数，反比例函数的性质计算即可解答．
14．【答案】解：
X=1+ 或者x=1-
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点，难以利用因式分解法求解，则可选用配方法求解，即先将常数项移到方程的右边，由于二次项次数为1，则直接给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后两边同时开方，进而可求解.
15．【答案】（1）
（2）解：这个游戏规则不公平．理由如下：
根据题意，列表如下：
红1 红2 白
白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，白）
白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，白）
红 （红，红1） （红，红2） （红，白）
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有5种，颜色相同的结果有4种，
∴P（颜色不相同）=，P（颜色相同）=，
∵＜，
∴这个游戏规则不公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）共有3种等可能结果，而摸出红球的结果有2种，
∴P（摸出红球）=，
故答案为：；
【分析】
（1）由概率公式计算即可解答；
（2）先列出表格，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种，由概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比，计算即可解答．
16．【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
（3）
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】（3）解：，，
与的相似比，
故答案为：．
【分析】（1）根据轴对称的性质得到点A、B、C的对称点，然后依次连接即可；
（2）根据点和的坐标特征得到位似比，然后将B1、C1的横、纵坐标乘以-2得到、的坐标，然后描点连接即可；
（3）根据位似三角形的相似比等于位似比解题即可．
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
（3），，
与的相似比，
故答案为：．
17．【答案】解：
任务1：设7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：7月份到9月份制作泥塑数的月平均增长率为．
任务2：该泥塑每件的售价为n元，则每件的销售利润为元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又尽可能让顾客得到实惠，
．
该泥塑的售价应定为50元/件．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】
任务1：设7月份到9月份制作泥塑数的平均增长率为x，利用9月份制作泥塑数=该车间7月份制作泥塑数该车间4月份到6月份制作泥塑数的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解方程取其符合题意的值，解答即可；
任务2：该泥塑每件的售价为n元，则每件的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于n的一元二次方程，解之可得出n的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可得到n的值，解答即可．
18．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
（1）根据，，得到四边形是平行四边形，根据平行加角平分线，得到，即可得证；
（2）证明，列出比例式，进行求解即可解答．
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．【答案】解：（1）；（2）①20，28；
②不存在，理由如下：
假设存在矩形，其边长为，，
同理可得：，，
则存在方程：，
，
∴方程无解，
故不存在矩形；
（3）存在，理由如下：
联立两个函数表达式得：，
解得：或5，
即点、的坐标分别为：、；
设点，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：
，
解得：，即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或；
综上，或或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（1）联立和得：，
解得：或5，
观察函数图象知，当时，的取值范围是，
故答案为：；
（2）①设矩形的边长分别为：，，
由题意得：且，
而，，
则，，
故周长为28，面积为20，
故答案为：20，28；
【分析】
（1）联立两函数解析式，计算得出图象的交点，观察函数图象，即可求解；
（2）①由题意得：且，即可求解；
②假设存在矩形，其边长为，，同理可得：，，则存在方程：，而方程无解，即可求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，计算即可求解；当或为对角线时，同样的方法求解即可解答．
20．【答案】（1）点是的相似心，相似三角形为．
（2）解：①；
②作轴，轴，垂足分别为Q、P、N，如图，
∵的外角平分线交于点M，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴， ，
∴．
又∴，
∴．
∵，
∴所得的，，中，只有，
∴点O为的相似心；
（3）或
【知识点】反比例函数的性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由图可知，，，，，，
∴，，；，；，，
∴，，，
∴只能证明，
故答案为：点是的相似心，且相似三角形为；
（2）①根据题意得：，
∴，
∵的外角平分线交于点M，
∴，
∴；
（3）如图，延长至点F，
由（2）得：， ，
∴，
∴．
∵点M在的图象上，
∴，
∴，
∴．
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵为直角三角形，
∴．
分类讨论：（Ⅰ）当与为相似三角形时，（当与为对应角时，与是全等三角形，显然不成立；与为对应角时， ，则，显然也不成立）
∴、，，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
在中，， ，，
设，则，
过点G作，垂足为点D，如图，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
解得：（舍去负值），
∴；
（Ⅱ）当与为相似三角形时，（当与为对应角时，与是全等三角形，显然不成立；当与为对应角时， ，则，显然也不成立），
∴，，．
∵，
∴．
在中，，，，
与（Ⅰ）同理可得．
（Ⅲ）当与为相似三角形时，
当与为对应角时，与是全等三角形，显然不成立；
当与为对应角时， ，则，显然也不成立；
当与为对应角时， ，则，此时点E在斜边上，也不成立．
综上可知或．
故答案为：或.
【分析】
（1）根据勾股定理可求出三个三角形的边长，再根据三边对应成比例的三角形相似解答即可；
（2）①根据角平分线的定义和三角形外角的性质得，从而得出答案；②作轴，轴，垂足分别为Q、P、N，证明即可求解；
（3）由相似三角形的性质结合相似心的定义求出，再分类讨论：（Ⅰ）当与为相似三角形，（Ⅱ）当与为相似三角形和（Ⅲ）当与为相似三角形，每一种情形再分对应角分别考虑，解答即可．
（1）解：由图可知，，，，，，
∴，，；，；，，
∴，，，
∴只能证明，
故点是的相似心，且相似三角形为；
（2）解：①根据题意得：，
∴，
∵的外角平分线交于点M，
∴，
∴；
②作轴，轴，垂足分别为Q、P、N，如图，
∵的外角平分线交于点M，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴， ，
∴．
又∴，
∴．
∵，
∴所得的，，中，只有，
∴点O为的相似心；
（3）解：如图，延长至点F，
由（2）得：， ，
∴，
∴．
∵点M在的图象上，
∴，
∴，
∴．
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵为直角三角形，
∴．
分类讨论：（Ⅰ）当与为相似三角形时，（当与为对应角时，与是全等三角形，显然不成立；与为对应角时， ，则，显然也不成立）
∴、，，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
在中，， ，，
设，则，
过点G作，垂足为点D，如图，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
解得：（舍去负值），
∴；
（Ⅱ）当与为相似三角形时，（当与为对应角时，与是全等三角形，显然不成立；当与为对应角时， ，则，显然也不成立），
∴，，．
∵，
∴．
在中，，，，
与（Ⅰ）同理可得．
（Ⅲ）当与为相似三角形时，
当与为对应角时，与是全等三角形，显然不成立；
当与为对应角时， ，则，显然也不成立；
当与为对应角时， ，则，此时点E在斜边上，也不成立．
综上可知或．
广东省深圳市福田区西交利物浦大学基础教育集团外国语学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024九上·福田期中）如图所示的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：图中几何体的主视图是，
故答案为：A．
【分析】利用从正面看几何体得到的图形解答．
2．（2024九上·福田期中）如果2是方程的一个根，则常数的值为（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】B
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
∴；
故答案为：B．
【分析】
根据元二次方程的根的定义把代入方程进行求解即可解答．
3．（2024九上·福田期中）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．8 B．12 C．0.4 D．0.6
【答案】B
【知识点】几何概率；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在阴影部分的概率为，
故阴影部分的面积为20×0.6=12.
∴黑色阴影的面积为约12，
故答案为：B．
【分析】利用频率估计概率的方法：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，故可以用频率的集中趋势来估计概率．
4．（2024九上·福田期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9），
∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6×，9×），
即（﹣3，），
故答案为：A．
【分析】根据位似变换的性质“如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）”计算即可求解.
5．（2024九上·福田期中）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，
∴，
的取值可以是3，
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系可得，再求出n的取值范围即可。
6．（2024九上·福田期中）如图，小聪在作线段的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，则直线即所求．根据他的作图方法，可知四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．任意四边形
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法可知，
根据四条边都相等的四边形是菱形，
可知四边形一定是菱形．
故答案为：B．
【分析】
根据作法与菱形的判定可得四边都相等的四边形是菱形，由此解答即可．
7．（2024九上·福田期中）“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为，
故答案为：D．
【分析】设进馆人次的月增长率为，分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可解答．
8．（2024九上·福田期中）如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径为5尺，不知其深，立5尺长的木于井上，从木的末端E点观察井水水岸A处，测得“入径”为4寸，问井深是多少？（其中1尺寸）”根据译文信息，则井深为（ ）
A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸
【答案】D
【知识点】解分式方程；矩形的性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：5尺寸，
设尺．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验：是分式方程的解．
∴（寸）．
故答案为：D．
【分析】
设尺，根据矩形的性质得到，从而可得到，再根据相似三角形的性质得到， 构建方程计算即可解答.
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2024九上·福田期中）已知，则的值为 ．
【答案】
【知识点】分式的值；比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴设，，
，
故答案为：．
【分析】
设，，代入所求式子中求解即可解答.
10．（2024九上·福田期中）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 .
【答案】10
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个相等的实数根，a=1，b=6，c=m-1，
∴，
则4（m-1）=36，
m-1=9，
解得：m=10；
故答案为：10.
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个实数根，则有，列方程，即可解出m的值.
11．（2024九上·福田期中）如图，三个气球分别被三根绳子系住，绳子一同穿过封闭的纸筒，另一端固定在木板上，无法判断绳子在纸筒中纠缠情况，随机解开木板上两根绳子，能取下气球C的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：随机解开木板上两根绳子可能有三种等可能情形，
其中能取下气球的有两种，所以概率为．
故答案为：．
【分析】
根据解开木板上两根绳子可能有三种等可能情形，再确定其中能取下气球的有两种，最后根据概率公式计算即可解答．
12．（2024九上·福田期中）如图，中，为上一点，，，，则 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得：或（舍去）
故答案为：.
【分析】结合公共角∠A，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证△ADC∽△ACB，由相似三角形对应边成比例得，从而代入数据可求AC的长．
13．（2024九上·福田期中）如图，已知，在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（）的图象与边交于点E，将沿对折后，C点恰好落在上的点D处，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；勾股定理；矩形的判定；翻折变换（折叠问题）；求余弦值
【解析】【解答】解：过点E作于点G，
∵，
∴设，，
∵矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
根据折叠性质，；，
，
∴，
∴，
∴，
根据反比例函数的性质，得，
解得，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】
过点E作于点G，根据，设，，根据折叠性质，；，利用勾股定理，三角函数，反比例函数的性质计算即可解答．
三、解答题（共7小题，共61分）
14．（2024九上·福田期中）解方程： ；
【答案】解：
X=1+ 或者x=1-
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点，难以利用因式分解法求解，则可选用配方法求解，即先将常数项移到方程的右边，由于二次项次数为1，则直接给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后两边同时开方，进而可求解.
15．（2024九上·福田期中）现有A，B两个不透明的袋子，分别装有3个小球（每个袋中的小球除颜色外，其他完全相同）．A袋装有1个白球，2个红球；B袋装有1个红球，2个白球．
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机摸出一个球，则摸出的小球是红球的概率为______；
（2）甲、乙两人玩摸球游戏，并设计了如下规则：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球．若甲、乙两人摸到的小球颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．这个游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由）
【答案】（1）
（2）解：这个游戏规则不公平．理由如下：
根据题意，列表如下：
红1 红2 白
白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，白）
白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，白）
红 （红，红1） （红，红2） （红，白）
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有5种，颜色相同的结果有4种，
∴P（颜色不相同）=，P（颜色相同）=，
∵＜，
∴这个游戏规则不公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）共有3种等可能结果，而摸出红球的结果有2种，
∴P（摸出红球）=，
故答案为：；
【分析】
（1）由概率公式计算即可解答；
（2）先列出表格，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种，由概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比，计算即可解答．
16．（2024九上·福田期中）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为；
（3）与的相似比是____．
【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
（3）
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】（3）解：，，
与的相似比，
故答案为：．
【分析】（1）根据轴对称的性质得到点A、B、C的对称点，然后依次连接即可；
（2）根据点和的坐标特征得到位似比，然后将B1、C1的横、纵坐标乘以-2得到、的坐标，然后描点连接即可；
（3）根据位似三角形的相似比等于位似比解题即可．
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
（3），，
与的相似比，
故答案为：．
17．（2024九上·福田期中）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销修，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件．
素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，该泥塑每月的销售量m（件）与每件售价n（元）之间符合一次函数关系．
问题解决
任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率；
任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？
【答案】解：
任务1：设7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：7月份到9月份制作泥塑数的月平均增长率为．
任务2：该泥塑每件的售价为n元，则每件的销售利润为元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又尽可能让顾客得到实惠，
．
该泥塑的售价应定为50元/件．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】
任务1：设7月份到9月份制作泥塑数的平均增长率为x，利用9月份制作泥塑数=该车间7月份制作泥塑数该车间4月份到6月份制作泥塑数的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解方程取其符合题意的值，解答即可；
任务2：该泥塑每件的售价为n元，则每件的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于n的一元二次方程，解之可得出n的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可得到n的值，解答即可．
18．（2024九上·福田期中）如图，在中，过A点作，交的平分线于点D，点E在上，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
（1）根据，，得到四边形是平行四边形，根据平行加角平分线，得到，即可得证；
（2）证明，列出比例式，进行求解即可解答．
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．（2024九上·福田期中）换一个角度初看
华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了．
（1）如图1，当时，的取值范围是_______．
换一个角度二看
我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长．
（2）请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____．
②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）；（2）①20，28；
②不存在，理由如下：
假设存在矩形，其边长为，，
同理可得：，，
则存在方程：，
，
∴方程无解，
故不存在矩形；
（3）存在，理由如下：
联立两个函数表达式得：，
解得：或5，
即点、的坐标分别为：、；
设点，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：
，
解得：，即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或；
综上，或或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（1）联立和得：，
解得：或5，
观察函数图象知，当时，的取值范围是，
故答案为：；
（2）①设矩形的边长分别为：，，
由题意得：且，
而，，
则，，
故周长为28，面积为20，
故答案为：20，28；
【分析】
（1）联立两函数解析式，计算得出图象的交点，观察函数图象，即可求解；
（2）①由题意得：且，即可求解；
②假设存在矩形，其边长为，，同理可得：，，则存在方程：，而方程无解，即可求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，计算即可求解；当或为对角线时，同样的方法求解即可解答．
20．（2024九上·福田期中）【定义】在内有一点，连接，，．在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心．
【应用】
（1）如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，点为内一点，请判断点是否为的相似心．若是，请直接写出相似的两个三角形；若不是，请说明理由．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点与点分别为轴负半轴，轴正半轴上的两个动点，连接，设的外角平分线，交于点，延长，分别交轴于点，交轴于点，连接．
①的度数是_____
②求证：点为的相似心．
（3）图3，在（2）的条件下，若点在反比例函数的图象上，，若点为的相似心，连接，直接写出线段的长．
【答案】（1）点是的相似心，相似三角形为．
（2）解：①；
②作轴，轴，垂足分别为Q、P、N，如图，
∵的外角平分线交于点M，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴， ，
∴．
又∴，
∴．
∵，
∴所得的，，中，只有，
∴点O为的相似心；
（3）或
【知识点】反比例函数的性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由图可知，，，，，，
∴，，；，；，，
∴，，，
∴只能证明，
故答案为：点是的相似心，且相似三角形为；
（2）①根据题意得：，
∴，
∵的外角平分线交于点M，
∴，
∴；
（3）如图，延长至点F，
由（2）得：， ，
∴，
∴．
∵点M在的图象上，
∴，
∴，
∴．
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵为直角三角形，
∴．
分类讨论：（Ⅰ）当与为相似三角形时，（当与为对应角时，与是全等三角形，显然不成立；与为对应角时， ，则，显然也不成立）
∴、，，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
在中，， ，，
设，则，
过点G作，垂足为点D，如图，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
解得：（舍去负值），
∴；
（Ⅱ）当与为相似三角形时，（当与为对应角时，与是全等三角形，显然不成立；当与为对应角时， ，则，显然也不成立），
∴，，．
∵，
∴．
在中，，，，
与（Ⅰ）同理可得．
（Ⅲ）当与为相似三角形时，
当与为对应角时，与是全等三角形，显然不成立；
当与为对应角时， ，则，显然也不成立；
当与为对应角时， ，则，此时点E在斜边上，也不成立．
综上可知或．
故答案为：或.
【分析】
（1）根据勾股定理可求出三个三角形的边长，再根据三边对应成比例的三角形相似解答即可；
（2）①根据角平分线的定义和三角形外角的性质得，从而得出答案；②作轴，轴，垂足分别为Q、P、N，证明即可求解；
（3）由相似三角形的性质结合相似心的定义求出，再分类讨论：（Ⅰ）当与为相似三角形，（Ⅱ）当与为相似三角形和（Ⅲ）当与为相似三角形，每一种情形再分对应角分别考虑，解答即可．
（1）解：由图可知，，，，，，
∴，，；，；，，
∴，，，
∴只能证明，
故点是的相似心，且相似三角形为；
（2）解：①根据题意得：，
∴，
∵的外角平分线交于点M，
∴，
∴；
②作轴，轴，垂足分别为Q、P、N，如图，
∵的外角平分线交于点M，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴， ，
∴．
又∴，
∴．
∵，
∴所得的，，中，只有，
∴点O为的相似心；
（3）解：如图，延长至点F，
由（2）得：， ，
∴，
∴．
∵点M在的图象上，
∴，
∴，
∴．
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵为直角三角形，
∴．
分类讨论：（Ⅰ）当与为相似三角形时，（当与为对应角时，与是全等三角形，显然不成立；与为对应角时， ，则，显然也不成立）
∴、，，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
在中，， ，，
设，则，
过点G作，垂足为点D，如图，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
解得：（舍去负值），
∴；
（Ⅱ）当与为相似三角形时，（当与为对应角时，与是全等三角形，显然不成立；当与为对应角时， ，则，显然也不成立），
∴，，．
∵，
∴．
在中，，，，
与（Ⅰ）同理可得．
（Ⅲ）当与为相似三角形时，
当与为对应角时，与是全等三角形，显然不成立；
当与为对应角时， ，则，显然也不成立；
当与为对应角时， ，则，此时点E在斜边上，也不成立．
综上可知或．
